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Il faut prouver que a +c+d. b + d + e :: a. b, ou, afin que la confequence foit en 'équation, que ab + bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui fe détruit par la réduction, bc + bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux (Hyp.) donnent ad= bc, le premier & le troifiême donnent ae-bd; donc (Axio. 1. Coroll. 1:) bc+bd — ad+ae. C. Q. F. D.

37.

=

COROLLAIRE.

IL fuit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b, & le dernier c, d'une progreffion geometrique, on trouvera aifément la fomme de tous les termes qui la compofent: car nommant la fomme des antecedens x; la fomme des confequens fera x—a+c. Or par ce Theorême, x. x-a+c:: a. b; donc (Theor. I.) bx = ax — aa+ac ; ou, en tranfpofant, & en fuppofant a▷ b, ax—bx— aa— ac ; d'où l'on tire.( Axio. 1. Cor. 5.) Ce qu'il faloit trouver.

x

aa ac

a—b

Si ab, ou ce qui eft la même chofe, fi la progreffion va en diminuant, & qu'on la fuppofe infinie, en faisant

le dernier terme co, l'on aura x=

=

aa

ab

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pour la va

leur de tous les termes de la progreffion : car le terme ac fe détruit à cause de c = 0.

A

THEOREME VIII.

3o. LA plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisième grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur C, a un plus grand raport à la plus petite b qu'à la plus grande a.

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b

2o. Que ->

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b

C

a

L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe pré

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que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit pre

mierement démontrer.

L'on a encore (Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divifant chaque

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->. Ce qu'il faloit en fecond lieu démontrer.

Nous avons fuppofé dans la Multiplication, & dans la Division, que +×+, &- -x- donnoit +; & que + oux+ donnoit. En voici la preuve, en fuppofant feulement que + x + donne +, dont personne ne doute.

X

-

a—

39. Soit ab à multiplier par + c. Je dis que le produit fera ac-bc: car ayant fuppofé a-b-p; l'on aura en transposant a = a = p + b, & multipliant cette équation par+c, l'on aura acpc + be ; donc en tranfpofant, ac pc; donc a — bx + c — ac —bc.

-bc

=

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40. Soit prefentement a→ a-bà multiplier par-c. Je dis que le produit fera acbc: car ayant fuppofé a — b =p, l'on aura en tranfpofant a = p+b; donc en multipliant parc, l'on aura (no. 39.)

ou ·ac + bc ——

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41. Je dis auffi

pc; donc a

que

ab

a

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divifeur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit pas fi le quotient étoit +b: car-ax +6 —— ab, qui n'est point le dividende. Au contraire a x − b = + ab, qui eft la quantité à divifer.

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puifque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons auffi fuppofé ailleurs.

REMARQUE.

1o. TOUT le Calcul algebrique eft fondé fur les trois Axiomes précedens, & fur les quatre premiers Theorê

mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par fon moyen, on peut démontrer d'une maniere qui eft toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux, & inégaux, des proportions, & des progreffions geometriques.

2o. L'on remarquera auffi qu'en fuivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progreffions arithmetiques. 3°. Que l'équation qui exprime la confequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à fes plus fimples termes, avant que de chercher à lui rendre femblable celle qui renferme l'Hypothefe car une équation étant vraye dans un état, elle le fera dans tous ceux qu'elle eft capable de recevoir.

Il s'agit prefentement d'ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. POUR les ajouter, on les écrira de fuite fans changer aucun figne, & pour les fouftraire, on les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites, foit que leur dénominateur foit le même, ou non. On leur donnera enfuite un même dénominateur & après avoir réduit (art. 1. n°. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs femblables, on prendra pour la fomme, ou pour la difference, celles des deux expreffions qui fera la plus fimple.

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qui eft une expreffion plus fimple que la premiere.

ab

aa- - bb

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bb

Pour fouftraire

de

l'on écrira

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fimple.

CC- cd

La premiere expression est la plus

MULTIPLICATION.

44.ON multipliera les numerateurs, & enfuite les dénominateurs l'un par l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expreffion la plus fimple.

bc

d

Soit

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=q. Il faut prouver que

abcc

bd

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La premiere fuppofition donne ac = bp, & la feconde, bc = dq; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) abċċ = bdpq i

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est appellé raport composé, ou raison compofec ; & le produit

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d'un raport —, multiplié par lui-même, est appellé

b

raport doublé, ou raifon doublée.

DIVISION.

46. LE produit du numerateur du dividende par le dénominateur du divifeur fera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur, sera le dénominateur du quotient. On · réduira enfuite le quotient à fon expreffion la plus fimple. à diviser par 7. Ayant

Soit propofé le raport

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ab

C

ac

Il faut prouver que

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acb

ACC

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tipliant chaque membre par b, & divifant chaque membre

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47.

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Des racines des quantiteż fractionnaires.

IL eft clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur, & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la

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Les mêmes operations fur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.

Fin de l'Introduction.

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