foit fait c. d :: ff. aff, & foit prise CD & CE chacune égale à vaff. Pour trouver CD=CE=<#= n; il faut chercher une moyenne proportionnelle entre c & d; qui fera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c. g. f. une quatrième proportionnelle qui sera n==√뽕. Car puisque c. g. d. font en proportion continue, c. d :: cc. gg; mais ayant encore c. g::f. n. on aura cc.gg:: ff.nn. donc c. d :: ff. nn. = ff. & par conféquent n =√; DE sera (no. 12.) l'axe cherché. Ayant ensuite trouvé les foyers F & G par la troisieme Propofition, on décrira l'Ellipse par la premiere. DEMONSTRATΙΟΝ. dff ELLE est évidente par ce que l'on a démontré no. 12. PROPOSITION VIL Problême. FIG. 62. XIII. UN E Ellipse ADBE, dont AB est le grand axe'; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipse mener la tangente MT. Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en I, en forte que MI = MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point O milieu de GI sera la tangente cherchée. DEMONSTRATION. D'UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI; puisque par la construction MG=MI,&10=0G, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera isoscele; & partant FL + LI=LF + LG furpasse FM + MI =FM+MG; donc le point Z est hors de l'Ellipse. C. Q. F. D. COROLLAIRE I. 1. SI l'on mene MK parallele à IG; l'angle KMO fera droit: puisque (Conft.) GI est perpendiculaire à мо. COROLLAIRE II. 2. LA ligne MK partage l'angle FMG en deux également: car à cause de KM parallele à GI, l'angle FMK FIG=MGI=GMK. COROLLAIRE III. 3. L A tangente MO rencontre l'axe AB prolongé en T: car l'angle GOT est droit, & l'angle OGT est aigu. COROLLAIRE IV. 4. L'ANGLE FML est égal à l'angle GMO; puisqu'ils sont les complémens des angles égaux FMK, GMK; d'où il suit que si le foyer G étoit un point lumineux, les rayons réfléchis à la rencontre de l'Ellipse passeroient tous par le foyer F. DEFINITIONS. 5. AYANT abbaissfé du point M sur l'axe AB la perpendiculaire MP. PT est appellée la foutangente, MK la perpendiculaire, & PK, la souperpendiculaire, ou founormale. perpendiculaire PROPOSITION Theorême. VIII. .. 6. AYANT supposé les mèmes chofes que dans la Propofition précédente; & nommé comme dans la première Propofition AC, ou CB, a; ; CF, ou CG,c; CP,x; PM, y; FP fera c+x, &GP, c c-X, ou X — c; с cela posé. Je dis que l'expression algebrique de la foutangente PT fere : ! DE'MONSTRATION. LE triangle rectangle GPM donne GM = √cc- - 2cx + xx + yy. Et parceque MK est parallele à GI, & que FI = (Prop. préced.) FM + MG = (art. 12. 10. 2.) AB = 2a, l'on a FI (2a). FG (2c) :: MI, ou MG (Vcc - 2x + xx+yy). GK. FM. FK :: MG. GK. Donc altern. FM . MG :: FK.GK. Donc com. FM + MG = FI. MG :: FK+GK=FG. GK. Donc altern. FI. FG :: MG.GK. c'est pourquoi en mettant cette valeur de yy dans celle de PT, l'on aura après la réduction, & division, PT est un quarré dont la racine est aa - c*; c'est pourquoi cette derniere valeur de PT se change en celle-ci, après avoir ôté ce qui se détruit, & divise les deux termes de |