= foit fait c. d:: ff. dff, & foit prise CD & CE chacune cc.gg i DEMONSTRATION. ELLE eft évidente par ce que l'on a démontré no. Iz. PROPOSITION VII. Problême. FIG. 62. XIII. UN E Ellipfe ADBE, dont AB eft le grand axe; C, le centre; F & G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT. Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en 7, en forte que MI = MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point o milieu de GI fera la tangente cherchée. DE'MONSTRATION. D'UN N point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI, puisque par la conftruction MG=MI,& I10= OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'eft pourquoi le triangle GLI fera ifofcele; & partant FL+LI=LF + LG furpaffe FM+ Mİ = FM+MG; donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q. F. D. 1. COROLLAIRE I. SI l'on mene MK parallele à IG, l'angle KMO fera droit: puifque (Conft.) GI eft perpendiculaire à MO. COROLLAIRE II. LA ligne MK partage l'angle FMG en deux également: car à cause de KM parallele à GI, l'angle FMK =FIG= MGI GMK. COROLLAIRE III. 3. LA tangente MO rencontre l'axe AB prolongé en 7: car l'angle GOT est droit, & l'angle OGT est aigu. 4. COROLLAIRE IV. L'ANGLEFML est égal à l'angle GMO, puifqu'ils font les complémens des angles égaux FMK,GMK, d'où il fuit que fi le foyer G étoit un point lumineux, les rayons réfléchis à la rencontre de l'Ellipse passeroient tous par le foyer F. DEFINITIONS. AYANT ANT abbaiffé du point M fur l'axe AB la perpendiculaire MP. PT eft appellée la foutangente, MK la perpendiculaire, & PK, la fouperpendiculaire, ou founormale. VIII. PROPOSITION Theorême. 6. AYANT fuppofé les mêmes chofes que dans la Propofition précédente; & nommé comme dans la première Propofi tion AC, ou CB, a; CF, ou CG, c; CP, x; PM, y; FP fera c+x, & GP, c-x, ou x- c; cela pofe. Fe dis que l'expreffion algebrique de la foutangente PT fera aa-xx DE'MONSTRATION. LE triangle rectangle GPM donne GM = Vcc — 2cx+xx + yy. Et parceque MK eft parallele à GI, & que FI= (Prop. préced.) FM+MG= (art. 12. no. 2.) AB = 2a, l'on a FI (2a). FG (20) :: MI, ou MG (√cc — 2cx + xx+yy). GK. - FM. FK:: MG. GK. Donc altern. FM. MG :: FK. GK. Donc com. FM+ MG FI. MG :: FK+GK FG. GK. Donc altern. FI. FG:: MG. GK. = 2cx + xx + yy = donc PK =x-c+ cVcc — 2050+ xx+yy › Ou ax Ou axac - ac+cVcc — 2cx+xx+yy, & à cause de l'angle droit K MT, l'on a PK dans celle c'est pourquoi en mettant cette valeur de yy de PT, l'on aura après la réduction, & dívision, PT eft un quarré dont la racine eft aa—c; c'est pourquoi cette derniere valeur de PT fe change en celle-ci, après avoir ôté ce qui fe détruit, & divifé les deux termes de la fraction par aa — cc . PT — aa -XX · C. Q. F. D. COROLLAIRE I, |