XX

MT.

04 - XX

40

::

A4 -4%

CORO · L AIRE I. 7.CP(x).PB (1-x) :: AP(+x). PT (***)

.(a ce qui fournit un autre moyen de mener la tangentę

COR O LLAIRE I I. 8. Si l'on ajoute x=CP à l'expression de PT = l'on aura CT = qui fournit encore un autre moyen de mener une tangente à l’Ellipse, en faisant CP (x), CB (4)::CB(a). CT ( ) с a

. COROLLA I REI I I. 9. Si deCT, l'on ôte a=CB , l'on aura BT =

qui donne encore un autre moyen de mener une tangente à l'Ellipse en faisant CP(x). PB (a x) :: CB (a). BT (****). COROLLATRE I V.

12 10. Il est clair que l'angle CMT est toujours obtus : car la perpendiculaire MK à la tangente MT divisant l'angle GMF en deux également, GM étant moindre que FM, GK sera aufli moindre

que FK; & par consequent le point K tombera toujours entre C, & G. PROPOSITION I X.

Theorême. 1. AYANT supposé les mêmes choses que dans la Prop. Fig. 62. précedente. Și l'on prolonge le petit axe CD, & la tangente MO du côté de M, ces lignes se rencontreront en un point Hifi

O

T'

II

bbyy

XX

bb

l'on mene MQ parallele à B C, ex qu'on nomme CD,b; en
laissant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la
Proposition precedente. Je dis que l'expresion Abgebrique de la
Soutangente QH, fera

y
DE MONSTRATION.
P étant le parallelogramme des coordonnées CQ=
P M iera, y; &MQ=CP, x. Et les triangles sembla-

&
bles PTM, MQH donneront TP (***). PM, (y)
:: MQ (*).QH

: mais ( Prop. 1.) aa — XX
aayy

aabb. - aayi
donc xx
i

į mettant donc cette

bb
valeur de xx dans celle de QH, l'on aura après la rédu-
dion, QH

COROLLAIR E.

Соко
12. Si l'on ajoute y =ceà QH
СН: d'où l'on tire cely). CD (6):: CD (6).
.
PROPOSITION X.

Theorême.
F1G. 63. 13. Soit une Ellipse ADBE, dont AB & DE sont les axes

conjuguez; C, le centre ;' MT, une tangente qui rencontre
les axes conjuguer en He en T. Je dis que la ligne GOL
parallele à la tangente MT sera divisée en deux également

bb – yy.c.Q.F.D.

у

bbw , l'on aura

bb

Ý bb

CH()

en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le

centre C.

زلا

Ayant mené par les points L, M,0, G, les lignes LK, MP, OR, GÅ perpendiculaires à l'axe AB, & par o la

&

O ligne RON parallele à AB qui rencontrera ķi en N, & XG en R , & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, X; PM,y;Clo

x m; L X , ou OR, Z; OK, ou GN,S; A X sera a +m -2; BX, a-m+; AK, a + m +/;&KB;am - $.

Il faut prouver que GO= OL, ou ce qui est la même choe, RÕ (x)=0N (/).

DEMONSTRATION. s triangles semblables CPM, CQ O donnent CP

1,9O donnent ? (*). PM (y) :: Cem). 00= =RX=KN:l'on

=

LES

ту

bb

1,

bb

aa

bbzx

& day

;

bb

my

3

**

day

bbzx

a aussi (no. 8.)CT= -, & (no. 12.) CH=

( . )

& les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent TCC).CH

()
::OR (). RG=&TC (9)

(2

bbfx CH ();) ::081%). NI=

donc XG= bbsx

Mais (art. 12. no. 5.) aa (CB*).bb. (CB):: aa :: ad - mm + 2m2 — 23. (A X * XB). *my

(XG*), & aa (CB). 66 (CD') :: aaatyy

mmyy 2bbmf b*/%C3 — 2m-|(AKÝKB).

(KL) d'où l'on trouve ces deux équations.

aammyy

XX

aammyy

aayy

b422XS

aayy

b*zzxx A. + 2bbmx +

aabb bbmm + abbma

aayy bb22, &

b4ffoca B. 2bbms +

aabb bbmm 2bbml

aayy .bbil & ayant ôté la seconde de la premiere, le premier membre du premier , & le second du second , l'on aura celle-ci,

b+zzmus 6&ffxx

* abbmx + 2bbms +

= abbmz+2bbmf-bbaz

алуу +bbs, d'où l'on tire m=s; car après avoir effacé de l'équation D les termes qui se détruisent, il restera 6480

bbzz + bbf. On divisera ce reste par bb, алуу & l'on multiplierà le quotient par aayy, il viendra bbzzxx

-bbffxx aayykk + aalyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbxxxx bbf]xx + aayy 3z + aassyy = 0.

équation par bbxx + aayy, & l'on aura au quotient 23-1=0, ou bien zz=, ou <=SOR

ON; donc GO=OL. C. Q. F.D. La position de la ligne GL peut changer en bien des manieres à mesure que le point o s'approche ou s'éloigne du centre C, ou se trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les signes dans les expressions des lignes ÅX, X-B, AK; KB; XG & RL, & l'on trouvera toujours x=; c'est pourquoi la Propofation est généralement vraye.

COROLLAIRE I. 14. Il est clair que la ligne FCS menée

par

le centre C, parallele à la tangente MT est divisée en deux éga.

On divifera cette

lement par le centre C: car le point O tombant en c, GL devient FS,& comme le point M peut être pris indifferemment sur tous les points de l'Ellipse; il s'ensuit que toutes les lignes comme FCS, sont coupées par le milieu en C; puisqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui passe aussi par le centre C.

DEFINITIONS. 15. L Es lignes MCV, FCS qui passent par le centre d'une Ellipse sont nommées diametres, & lorsque deux diametres MCV, F.CS sont posez de maniere que

l'un des deux FCS est parallele à la tangente MT menée par Hextrêmité M de l'autre MCV ; ils sont nommez diametres conjuguez; & les lignes OG,OL sont nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV.

COROLLAIRE I I. 16. Il est évident que les ordonnées à un diametre quelconque sont divisées en deux également par le même diametre.

COROLL AIRE III. 17. Il est clair que la position des diametres conjuguez est déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez.

COROLLAIRE I V. 18. Si l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir mis z en la place de li le premier membre au premier & le second au second, l'on aura celle.ci zaammyý

2 aabb

2bbmm

26*zzxx

aayy

— 2bbzz, ou, en supposant que le point O tombe en C, auquel cas QK devient CI, GL devient FS, KL, devient S1, &cQ=m devient nulle ou=0, ce qui SI