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7.CP(x).PB (a−x) :: AP (a + x). PT

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ce qui fournit un autre moyen de mener la tangente

MT.

COROLLAIRE

I I.

8. SI l'on ajoute x = CP à l'expreffion de PT=

aa XX

l'on aura CT = qui fournit encore un autre moyen de mener une tangente à l'Ellipfe, en faifant CP (x).

CB ( a ) :: CB ( a ), CT ( ~)

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9. SI de 4—CT, l'on ôte a=CB, l'on aura BT =

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qui donne encore un autre moyen de mener une tangente à l'Ellipse en faifant CP ( x ). PB ( a − x') :: CB (a). BT ( (x).

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COROLLAIRE I V. IV. T 10. IL eft clair que l'angle CMT est toujours obtus : car la perpendiculaire MK à la tangente MT divifant l'angle GMF en deux également, GM étant moindre que FM, GK fera auffi moindre que FK ; & par confequent le point K tombera toujours entre C, & G.

II.

PROPOSITION IX.

Theorême.

AYANT fuppofe les mêmes chofes que dans la Prop. FIG. 62. précedente. Si l'on prolonge le petit axe CD, & la tangente MO du côté de M, ces lignes fe rencontreront en un point Н;s

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l'on mene MQ parallele à BC, & qu'on nomme CD, b; en laiffant aux autres lignes les noms qu'on leur a donnez en la Propofition précedente. Je dis que l'expression Abgebrique de la

foutangente QH, fera

bb-yy

y

DEMONSTRATION.

PQ étant le parallelogramme des coordonnées CQ = P M fera, y; & MQ= CP, x. Et les triangles fembla

aa

・)..

bles PTM, MQH donneront TP ( (*—**). PM, (y)

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valeur de xx dans celle de QH, l'on aura après la rédu

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CH=

bb.

d'où l'on tire CQ (y). CD (b) :: CD (b).

CH().

PROPOSITION X.

Theorême.

FIG. 63. 13. SOIT une Ellipfe ADBE, dont AB & DE font les axes conjuguez; C, le centre; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera diviféé en deux également

en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le

centre C.

Ayant mené par les points Z, M, 0, G, les lignes LK, MP, 0Q, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallele à AB qui rencontrera KĨ en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM,y; CQ, m; QX, ou OR, L; QK, ou GN, f; AX fera a +m Z; BX, a—m+z; AK, a +m+f; & KB; a m -f.

2;

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Il faut prouver que GO = OL, ou ce qui eft la même chofe, RO (x)=ON (S).

LES

DE'MONSTRATION.

сео

s triangles semblables CPM, CQ0, donnent CP

(x). PM (y) :: CQ (m). QO

my

=RX=KN: l'on

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les triangles femblables TCH, ORG, ONL, donnent

aa

bb

bbzx

--

TC (~).CH(+): :: OR (<). RG=*=*, &TC (~).

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aay

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(C) :: aa — mm + 2mz — 23 (AX × XB).

2bbmz

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b*zzxx (XG3), & aa (CB3). bb ( C D3) :: ad

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d'où l'on trouve ces deux équations.

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& ayant ôté la feconde de la premiere, le premier membre du premier, & le fecond du second, l'on aura celle-ci,

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+bbf, d'où l'on tire z=ss; car après avoir effacé de

l'équation D les termes qui fe détruisent, il reftera

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=

b4zzxx aayy

bbzz+bbff. On divifera ce refte par bb,

+

0.

& l'on multiplierà le quotient par aayy, il viendra bbzzxx -bbffxx= aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzzxx — bbffxx + aayyzz → aaffyy On divifera cette équation par bbxx aayy, & l'on aura au quotient = o, ou bien z=ss, ou z=s, OR ༢༢ 『: ON; donc GOOL. C. Q. F. D.

La pofition de la ligne GZ peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C, ou fe trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les fignes dans les expreffions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & PL, & l'on trouvera toujours z=/; c'eft pourquoi la Propofition eft généralement vraye.

COROLLAIRE I.

14. IL est clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT eft divifée en deux éga.

P

lement par le centre C: car le point O tombant en C, GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment fur tous les points de l'Ellipfe; il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, font coupées par le milieu en C; puifqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui paffe auffi par le centre C.

DEFINITIONS.

15. LEs lignes MCV, FCS qui paffent par le centre d'une Ellipfe font nommées diametres, & lorfque deux diametres MCV, FCS font posez de maniere que l'un des deux FCS eft parallele à la tangente MT menée par Pextrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OZ font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre M V.

COROLLAIRE II.

16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quelconque font divifées en deux également par le même diametre.

17.

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IL eft clair que la position des diametres conjuguez eft déterminée par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez.

COROLLAIRE IV.

18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la propofition précédente, après avoir mis en la place def, le premier membre au premier & le fecond au fecond, 24ammyý 2b*zzxx l'on aura celle-ci

+

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zaabb

2bbmm

— 2bbzz, ou, en fuppofant que le point O tombe en C, auquel cas QK = ༢ devient CI, GL devient FS, KL, devient SI, & CQm devient nulle ouo, ce qui

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