détruit les termes où m fe rencontre, bbzzxx aayy =aa ༢༢་ d'où l'on tire z=aa-xx, en mettant pour aayy fa va leur aabb bbxx tirée de l'équation aa-xx = aayy bb trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI= AP × PB: & que CP2 = AI × IB: car l'on a auffi xx=aa ༢༢: COROLLAIRE V. SI l'on fait dans cette équation xx = aa—22, Z FIG. 63. 19. ༢༢.༢ (CI)=x (CP); les points P & I fe confondront en un FIG. 64. feul point y, & les deux diametres conjuguez MV, FS feront égaux, & l'on aura 2xx = aa; donc x = x= = √=== aa qui fervira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prise Cr moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux. COROLLAIRE VI. F16.64. 20. I L eft clair que AY x Y B⇒Cr2 : car l'équation (no. 18.) xx=aa — zz subsiste toujours, quoique x=2 ou CP CI=CY. COROLLAIRE VII. = 21. A Caufe de AY x YB⇒CY1— (no. 19. ) — aa ̧l'on a (Art. 12. n°. 5.) — aa ( CY2 ). yy ( P M2 ) :: aa ( C B1 ). bb (CD); car (Art. 12. n°. 5.) on a aa-xx.yy aa, bb. Mais (no. 19.) x =√aa. Donc xx = aa. Donc fubftituantaa dans le premier terme aa -xx de l'analogie précedente à la place de xx, on aura aa — aa = 1⁄2 aa. yy : : aa. bb, d'où l'on tire y =✔bb, qui fervira à trouver le point Q fur CD, comme l'on a trouvé (no. 19.) le point r fur CA; & la perpendiculaire FQM déterminera auffi la pofition des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS. COROLLAIRE VIII. PUISQUE (Art. 12. n°. 5.) AP × PB, ou (no. 18.) CI. F1 6.6;. PM::CB.CD,&AIxIB ou (n. 13.) CP . IS :: CB'. CD', l'on a CI2. PM2 :: CP2. IS', ou CI.PM:: CP. IS, d'où il fuit que les triangles CPM, CIS font égaux. PROPOSITION XI. Theorême. 23. AYANT suppofé les mèmes chofes que dans la Pro- F 1 G. 63. pofition précédente. Je dis que le rectangle VO x O M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL', quarré de la même appliquée; comme V M2, quarré du diametre VM, eft à FS, quarré du diametre conjugué à VM. Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP, x; PM,y; OR, ou ON, z; CQ, m; CV ou CM, d; FC, ou CS, f; CO,u ; & O L ou OG,s. Il faut prouver que dd- uu.:: dd. ff :: 4dd. 4ff. DE'MONSTRATION. L'ON a (art. 12.) aayy A. aa - XX les triangles femblables MCP, b b oco, donnent d (CM). x (CP) :: u (CO). m (CQ); donc B. dmux, & les triangles femblables SCI, LON, & CI' = (no. 18.) aa-xx, donnent ff (CS). aa - xx ( CI ) : : ff (LO* ). zz, ( 0 N'); donc C.ffzx= aaff-xx. En reprenant préfentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no. 18, qui étant divifée par 2, devient, tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du fecond pour aayy, tirée de l'équation A, l'on aura fa valeur aabb bbxx aamm ༢༢. & mettant encore pour mm fa valeur aa tirée de dd l'équation B, & pour zg, fa valeur aaff-xxff tirée de l'é quation C, l'on aura après les réductions & tranfpofitions, - uu 24. SI MV & FS font les deux diametres conjuguez égaux, d fera =f; & l'équation deviendra dd , qui feroit une équation au cercle, fi l'appliquée O L faifoit un angle droit avec C M. DEFINITIO N. 25. SI l'on fait d.f:: 2f. p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre MV. COROLLAIRE II. 26. LA proportion d. f :: 2f.p donne dp =2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc d=dd c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente 2dfs d'où l'on pour de la valeur 24, l'on aura dd ff tire dd-uu. :: 2d. p. COROLLAIRE II I. 27. LON peut encore mettre pour 24 un autre raport m "==d; & l'on aura dd — uum, d'où l'on tire On ajoutera ici les mêmes chofes que l'on a dites art, 12. no. 9, 10, 11, 12, 13, & 14. PROPOSITION XII. Theorême. 28. LES mèmes choses étant encore fuppofées, fi l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq x qS. q G :: FS'. VM'. En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF f; CO, ou qG, u; OG, ou Cq, f; Fq sera ƒ —s; & q S, f+s. Il faut prouver que ff-. uu :: 4ff. 4dd. fant daff la multipliant par ff, tranfpofant & divi ffuu par dd, l'on en tirera ƒƒ—ss= qui donnera f dd COROLLAIRE I. 30. LA Proportion précédente donne pf = 2dd; donc ff précedente pour sa valeur, l'on aura fƒ— ss= dd P d'où l'on tire ff-ss. uu :: 2f. p. COROLLAIRE 2 fun 31. L'ON peut encore changer le raport m un autre raport égal, & l'on aura ff-s= qui donne ff. uu :: m. n. muu се n On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. n°. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. COROLLAIRE III. 32. Il est clair ( no. 25. & 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par fon parametre est égal au quarré de l'autre diametre. 33. PROPOSITION XIII. Problême. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de pofition & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipfe, déterminer la pofition & la grandeur des axes de la même Ellipfe. Cette Propofition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un feul, comme on va voir dans le fecond: le premier eft lorfque les lignes FS & MV font égales: le fecond lorfqu'elles font inégales. |