PREMIER

CA s. AYANT joint les points M, S&M, F, & ayant F16.65. 34 divisé MS & MF par le milieu en P& Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part

& d'autre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF sont égales , & que les points P & e divisent par le milieu MS & MF. .

Soit ensuite fait PI = CP & QH=CQ, & du centre c par 1 , & par H décrit deux cercles qui couperont

H
CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe
dont AB & D E sont les axes , passera par les points M,
F, V & S.

D E' MONSTRATION.
AYANI

A NT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP , ou PI , *; PM, ou CQ, ou QH,y;

l'on a

par

la propriété du cercle , & par la Construction, aa - xx(AP * PB) = xx ( PI , ou CP ), & bb – =

'

yy ( E Qx2D) =yy ( QH, ou CQ!), d'où l'on tire x= Vaa, &y = =V_66; c'est pourquoi ( no. 19. & 21.) les points S, M;

i V&F, sont à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. l: F.D.

S E c o s D C A s. 35. Soit prolongée C M du côté de M, & soit faite F16.66.

CM
MK prise sur le prolongement, égale à la croisiéme pro-
portionnelle à CM & CS ; & ayant

mené par M la droite
'

M
HMT parallele à FS, du point O milieu de CK ; on
élévera la perpendiculaire OG qui rencontrerá HMT en
un point G ; puisque ( no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse

; dont MV&F S sont deux diametres conjuguez ; & que ( no. 10.) l'angle CMT est obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera 7 C, & HC indéfiniment prolongées au-delà de c par raport à T & à H : l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à

у

CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & CP; CD, moyenne proportionnelle entre CH&CQ, fait CA=CB, & CE=CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & ED ( qui à cause du cercle le coupent à angles droits ) sont les axes, passera par les points M,F,V & S.

D E'M ONS I R A TION. AYANT abaiffé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divisera CT par le milieu en N;& partant NG=CH, & ayant abbaissé du point S sur la même

& CT la perpendiculaire SI, &' nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF , ou CS, f; & les indéterminées CP, ou M, X; PM, ou CRY; & CI, 2; l'on aura ( Const. ) CP (*).CB (a) :: CB(a).CT =- &

bb

donc NT=CRV). CD(6):: CD (6).CH=-;

TP= car NT=CN, par

CN, par construction. NG=-,

у

2.X

bb

2y

aa

bb

da

*, & Q H = y, & les triangles semblables

y CIS, MOH, TPM donneront CI (2). CS (f)

fx :: MQ (*). MH= & CI(%).CS (8) ::TP.

aaf (-).TM= ( ТМ

i

donc HM + MT, ou aaf

aaf HT==;

&
partant
GT =

donc à cause de af

et l'angle droit GNT, (GT')

(NT'+

4yy

6422xx NG'), d'où l'on tire ff=%k+

Mais l'on a aussi a'yy

*

ZX

z

ܐܐ

42ZXX

4XX

bb

bbz

MQ(x). QH (-y) :: C7(3). Is=

ху

donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CSP) = 23+

ххуу

+

**

XX

atyy

bizz

2bbzz

zzyy

3

*%

C

aayy

bb

cette équation délivrée de fra&ions xxyy donnera A. 6***

x 2*6* 2a*bbyy + a*y*. Pour abreger encore il faut diviser cette équation par 2, qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. a*6* 2a*bbyy + a'y* -6*x*

Laquelle étant divisée par aabb + bbxx -- aayy, il viendra au quotient aabb — bbxx

aayy=0, qui se réduit à cette équation aa xx = qui est une équation à une Ellipse dont les axes font ( Prop. 1. ) AB= 2a, & DE= 26,& qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V ; puisque (Hyp.) CM=ci. Or ( Const.) CM (d).CS (f):: CS(F). MK=:

aaffc

ffaca mais par la proprieté du cercle

(HM x MT =CM * MK=Const. CS*)=ff, d'où l'on tire = X

. aa — xx ; c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipse passe aufli par

. les points S & F. C. Q. F. D.

R E M A R R u E. Pour trouver le diviseur aabb

aayy

bbxx , tirez la racine quarrée de l'équation marquée ( A) vous aurez aabb

aayy=+bbxx, laquelle étánc réduite à o donnera aabb — sayy

bbxx

= 0, qui sera le diviseur cherché.

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette sorte,

4

=

bbxx

C. a*y* - 2a*bbyy = 6*x* — a*b*.
Divisez-la par 4*, & vous aurez

a

b*x+ D. y* — 2bbyy = - 6*.

Ajoutez de part & d'autre le quarré b* de la moitié bb du coefficient 2bb du second terme abbyy, & vous aurez

6*** E. y* — 2bbyy + b*

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez F. yy — bb=+

Multipliez tout par aa , & vous aurez aayy aabb =+bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy — aabb + bbxx=0, & aayy — aabb

bbxx=0, à cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeant les signes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy - bbxx = 0, qui est le diviseur cherché.

COROLL AIR E. 36. SI MV=FS;CM sera=MK; car par la constru=

:
=;

. dion MK a été faite égale à la troisième proportion. nelle , à CM & CS. Donc si MV=FS, par conséquent CM=CS. Donc CM=MK ; & partant les points o & G se confondront avec le point M, qui sera le centre du cercle qui étant décrit par c déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV..

Problême. Une équation à l'Ellipse ab syyétant donnée, décrire l'Ellipfe, lorsque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

XX =

par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Proposition précedente; on déterminera les foyers par la troisième, & on décrira l’Ellipse par la premiere.

SECTION VII

. Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez

sur un Plan. PROPOSITION I.

Theorême. XIV.

U

N angle quelconque HCK, e un point quel. F19.67

conque D dans cet angle , étant donnez de position sur un Plan ; si l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CHO CK en I den K, & qu'on prenne sur ID K la partie KO=ID. Je dis

que les points O&D, en tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point o, en menant d'autres lignes par

le point D, feront à une Hyperbole , dont CH & CK sont les asymptotes.

D E M O N S T RATIO N.
ANT mené

par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & ÔN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK, ; car KN=OG, puisque le triangle KDN a ses côtez

= égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car ( par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2o. L'angle adjacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils sont externe & interne du même côté. 3o. L'autre angle adjacent NDO est aussi égal à l'autre angle adjacent G10