:

PREMIER CAS.

34. AYANT joint les points M, S&M, F, & ayant Fig. 65. divisé MS & MF par le milieu en P & Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF font égales, & que les points P & Q divisent par le milieu MS & M F.

Soit ensuite fait PI=CP & QH=CQ, & du centre C par I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE sont les axes, passera par les points M, F, V & S.

DEMONSTRATΙΟΝ.

AY YANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CEsb CP, ou PI, x; PM, ou CQ, ou QH, y; l'on a par la propriété du cercle, & par la Construction, aa - xx (AP × PB) = xx (PI, ou CP*), & bb - yy (EQxQD) =yy (QH2, ou CQ2), d'où l'on tire x = √ aa, & y =√bb; c'est pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M, V& F, font à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. Q. F.D.

SECOND CAS.

35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faite F16.66. MK prise sur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puisque (no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & F S sont deux diametres conjuguez; & que (no. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points 7 & H par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H : l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à

CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA =CB, & CE = CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & ED (qui à cause du cercle se coupent à angles droits ) font les axes, passera par les points M,F,V & S.

DE'MONSTRATION.

AYANT abaissé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divisera CT par le milieu en N; & partant NG=CH, & ayant abbaisse du point S sur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CO2y; & CI, z; l'on aura (Const.)

aa

CP(x). CB (a) :: CB (a). CT = ", &

bb

aa =-,

CQ (y). CD (b) :: CD(b). CH =; donc NT="

y

bb

20

car NT=CN, par construction. NG = - TP=

aa

bb

2y

--x,& QH = -y, & les triangles semblables

CIS, MQH, TPM donneront CI (2). CS (f)

fx

:: MQ (x). MH = -, & CI(z).CS (f): : TP

NG'), d'où l'on tire ff=+

b+zzxx

4xx

4yy

Mais l'on a aussi

donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS*) = zz +

ххуу

+=

2; cette équation délivrée de fractions

XX

A. bx = ab - zabbyy + ay.

Pour abreger encore il faut diviser cette équation par

zx, qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. ab

zabbyy a'y-bx = 0.

Laquelle étant divisée par aabb+bbxx

dra au quotient aabb

bbxx

aayy, aayy = o, qui se réduit

une Ellipse dont les axes font (Prop. 1.) AB = 2a, & DE=26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V; puisque (Hyp.) CM=CV.

Or (Conft.) CM (d). CS (f) :: CS(f). MK=4:

= CM × MK = Const. CS*)=ff, d'où l'on tire aa - xx ; c'est pourquoi (no. 18.) l'Ellipse passe aussi par les points S & F. C. Q. F. D.

Pour trouver le diviseur aabb - bbxx, tirez la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez

aayy=+bbxx, laquelle étant réduite à o, bbxx = o, qui sera le diviseur

aabb donnera aabb cherché.

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver

ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette forte,

Ajoutez de part & d'autre le quarré bo de la moitié bb

du coefficient 26b du second terme abbyy, & vous aurez

4

b+x+

a+

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez

66

=

bbxx bxx +

aa

aabb

F. yy Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy =+bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy - aabb + bbxx = 0, & aayy

aabb

bbxx = 0, , à cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations,

vous aurez aabb-aayy cherché.

:

COROLLAIRE.

36. SI MV=FS; CM sera=MK; car par la construdion MK a été faite égale à la troisiême proportion. nelle, à CM & CS. Donc fi MV = FS, par conséquent CM=CS. Donc CM=MK; & partant les points O & G se confondront avec le point M, qui sera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

PROPOSITION XIV.

Problême.

d

UNE équation à l'Ellipfe ab xx = étant donnée, décrire l'Ellipse, lorsque les coordonnées font un angle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Proposition précedente; on déterminera les foyers par la troisième, & on décrira l'Ellipse par la premiere.

SECTION

VII.

Où l'on démontre les principales proprietez de

XIV.

l'Hyperbole décrite par des points trouvez

fur un Plan.

PROPOSITION I.

Theorême.

UN angle quelconque HCк,

N angle quelconque HCK, & un point quel- FIG. 67. conque D cet angle, étant donnez de pofition sur un Plan; fi l'on mene librement par le paint D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, & qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O & D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les asymptotes.

DEMONSTRAΤΙΟΝ.

AYANT mené par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK, c; car KN = OG, puisque le triangle KDN a ses côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle adjacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO est aussi égal à l'autre angle adjacent GIO