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AYANT

34. ANT joint les points M, S & M, F, & ayant FIG. 65. divifé MS & MF par le milieu en P&Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puifque CS, CM, CF font égales, & que les points P&Q divisent par le milieu MS & MF.

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Soit enfuite fait PI CP & QH = CQ, & du centre C par I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE font les axes, paffera par les points M, F, V & S.

DEMONSTRATION.

AYANT nommé AC, ou CB, a, CD, ou CE ̧b,
CP, ou PI, x; PM, ou CQ, ou QH, y'; l'on a par la
propriété du cercle, & par la Conftruction, aa-xx (AP
× PB) =xx (PI, où CP), & bbyy ( E Q x Q D)
=yy(QH2, ou CQ), d'où l'on tire x = Vaa, & y
✔bb;
bb; c'eft pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M,
V&F, font à l'Ellipfe dont les axes font AB, & DE.
C. Q. F.D.

SECOND CA s.

35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faite F16.66. MK prife fur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puifque (no. 13.) MT eft tangente à l'Ellipse dont MV & F S font deux diametres conjuguez; & que (no. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui paffera par K, & coupera MG aux points 7 & H par où, & par C, l'on menera T C & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H: l'on menera enfuite MP & MQ paralleles à

CH & à CT; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA CB, & CE CD. Je dis que l'Ellipfe dont AB & ED ( qui à cause du cercle fe coupent à angles droits font les axes, paffera par les points M, F,V & S.

=

=

DE'MONSTRATION.

AYAN ANT abaiffé du centre G fur CT la perpendiculaire GN, le point N divifera CT par le milieu en N; & partant NG CH, & ayant abbaiffé du point S fur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d, CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CO2y; & CI, z; l'on aura (Conft.)

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bb

&

CQ (y). CD ( b) :: CD(b). CH= donc NT

y

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bb

carNT=CN, par conftruction. NG=−,

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TP=

zy

y, & les triangles femblables

CIS, MOH, TPM donneront CI (2). CS (ƒ)

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bb

bbz

MQ ( x ). QH ( 1⁄2 — y ) :: CI (3) . IS — by

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xy

donc à cause de l'angle droit CIS, ff ( CS® ) = %% +

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A. b*x* = a*b*

donnera

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b+zzxx

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; cette équation délivrée de fractions

za*bbyy + a'y*.

Pour abreger encore il faut divifer cette équation par K, qu'il faut égaler à o, & l'on aura

B. a*b* — za"bbyy + aˆy* — b*x*

= 0.

Laquelle étant divifée par aabb+bbxx-aayy, il viendra au quotient aabb — bbxx

à cette équation aa — xx =

aayyo, qui fe réduit

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une Ellipse dont les axes font (Prop. 1. ) AB = 2a, & DE=2b, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V; puisque (Hyp.) CMcv. Or (Conft.) CM (d). CS (f) :: CS(f). MK=4:

mais par la proprieté du cercle

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= CM × MK = Const. CS1)=ff, d'où l'on tire z= aa-xx; c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipfe paffe auffi par les points S & F. C. Q. F. D.

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la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez aayy +bbxx, laquelle étánt réduite à o bbxx aayy = o, qui fera le diviseur

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Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce divifeur, ordonnez l'équation A en cette forte,

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Ajoutez de part & d'autre le quarré 6 de la moitié bb du coefficient 266 du fecond terme 2bbyy, & vous aurez

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b*x*

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez

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Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy aabb +bbxx. Faifant paffer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy — aabb + bbxx = 0, & aayy aabb - bbxxo, à caufe qu'un quarré pofitif a toujours deux racines, l'une pofitive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb -aayy- bbxxo, qui est le diviseur cherché.

COROLLAIRE.

=

36. SI MV = FS, CM fera MK; car par la construction MK a été faite égale à la troifiême proportion nelle, à CM & CS. Donc fi MV FS, par conféquent CMCS. Donc CMMK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

PROPOSITION XIV.

Problême.

UNE équation à l'Ellipse ab

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décrire l'Ellipfe, lorfque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente, on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipfe par la premiere.

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Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan.

PROPOSITION

Theorême.

I.

XIV. conque D dans cet angle, étant donnez de
UN

N angle quelconque HCK, & un point quel- FIG. 67.

que

pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point D
une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K,
&qu'on prenne fur IDK la partie KO-ID. Je dis
les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on
vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le
point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les
afymptotes.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par les points D & O, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car KN = OG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 1o. Le côté KD=01; car ( par construction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2o. L'angle adjacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO eft auffi égal à l'autre angle adjacent GIO

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