par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle GOI. Donc leurs côtez sont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG = FC, étant paralleles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc KN = FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il restera FK=CN=DL. Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, S; FO, ou CG ou NR, z; NF ou RO fera fc, & DR, d-z; les triangles semblables DRO, OFK donneront d - 2 (DR).f-c(RO) :: z(OF). c (FK); donc cd-cz= fz-cz, ou cd=fz. Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque / croiffant, & diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter s à l'infini, z diminuera aussi à l'infini; c'est pourquoi les lignes CH, & CK font les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

L'équation cd = 1⁄2 peut aussi se réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA sera pris à volonté, si on mene la corde AB, dont AD = c & DB = d, & que par le point D qui sépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED sera égale à z, & DG égalera s. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on voudra, il est manifeste que z & saugmenteront à l'infini,

FIG. 67. I.

COROLLAIRE I.

CF x

IL est clair que tous les rectangles semblables à FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours f

= cd.

COROLLAIRE II.

2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les
asymptotes en 7 & en S, TB sera toujours égale à VS:
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux asymptotes,
l'on aura (Corol. 1.) CX x XB = CQ × QV, ou (en
nommant CX, d; XB, c; CQ, S; QV, Z; )z=cd,
ou fzcz=cd - cz, qui étant changée en analogie,
donne d
z. - c :: z. c d'où il suit par la Démon-
stration de cette Proposition que XB = QS; donc TB

COROLLAIRE III.

3. IL est clair que les parallelogrammes CD, CB,CO, CV font égaux entr'eux.

COROLLAIRE IV.

4.SI l'on avoit nommé NF, ou Ro, f, l'on auroit eu z=cd-cz, qui montre que lorsqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des asymptotes.

COROLLLAIRE V.

5.IL est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO = DI peuvent servir à en trouver d'autres comme B & B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

6. EN supposant les mèmes choses que dans la premiere F16.67. Proposition, si l'on mene par le sommet C de l'angle des asymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre OG & DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que le rectangle CM × CN, on CM × LD est égal au rectangle CP x CF, ou CP x GO.

Ayant nommé les données CL, d; CN, c; CM, a, & les indeterminées CF, ou GO,∫; CG, ou FO, z; CP, u. Il faut prouver que ac = uf.

DE'MONSTRATION.

A Cause des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CM :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: z. u; donc du = az: mais (Prop. 1.) sz=cd, d'où l'on tire z=; metrant donc cette valeur de z dans l'équation précédente, l'on aura fu = ac. C. Q. F. D.

در

On peut encore démontrer cette Proposition en cette forte. A cause des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG:: CM.CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente sz=cd, en la place de d (CL) & de (CG) leurs proportionnelles a (CM) & u (CP),

FIG. 69. 7. UNE Hyperbole MBm, dont les asymptotes sont CT, &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT.

=

Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles
aux asymptotes, soit prise IT
CI. Je dis que la ligne
TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en
B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATION.

PAR l'Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B;
& parceque CI=IT, TB sera aussi = BH; d'où il suit
que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un seul point
que
B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO
(no. 2.) = BT feroit = BH. ce qui est impossible. C'est
pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

8. I L est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les asymptotes en T & H, font divisées en deux également par le point touchant B.

COROLLAIRE II.

9. IL fuit aussi que si la position de la tangente TBH, est telle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT seront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI sont égaux, le parallelogramme GI sera un rhombe; & partant CI=CG; donc CT (n°. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

10. IL suit encore que si l'angle des asymptores HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point touchant B fera = BH = BT; fi cet angle est aigu, CB furpassera BH, ou BT; s'il est obtus CB sera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point C sera sur la circonférence si l'angle HCT est droit, hors du demi cercle, s'il est aigu; & dans le demi cercle, s'il est obtus; donc au premier cas CB =BH ou BT ; au second, CB, furpasse BH, ou BT; & au troisieme, elle est moindre.

COROLLAIRE IV.

11. IL eft encore manifeste que les lignes IK, Mm paralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puisque BH = BT, PL sera = PK : mais (no. 2.) ML =mK; donc

PM Pm.

PROPOSITION IV..

Problême.

12. U NE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l' Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'angle des asymptotes.

Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune = a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les asymptotes CT

& CH.

DE'MONSTRATIΟΝ,

ELLE est évidente par la premiere Proposition.

PROPOSITION V.

Theorême.

?

FIG. 69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT font les asymptotes; soit aussi par un point quelconque B, menée (no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les asymptotes en L & K. Je dis que CP2CB. PM* :: CB2. BH2, ou ce qui revient au mème ayant prolongé BC en A, & fait CA =CB, que AP x PB, PM:: AB'. ΤΗ2,

Ayant mené BI, BG, mQ & m paralleles aux asymprotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, 6; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm, S; CN ou Qm, z; AP sera x + a, & BÞ, х. — а.

Il faut prouver que xx - aa. yy :: aa. bb:: 4aa. 466,