on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet, résoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

REMARQUE.

1. Les valeurs arbitraires que l'on assigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x = 0; car l'équation deviendra x=b-b= 0. Dans cette équation xx = a - yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y a, l'on aura xx = aa -aa=0, & fi l'on faifoit y=0, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation ax = by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y: car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne fasse y = 0 quel cas l'on aura ax = 0, ou x = =0.

=

A

THEOREME.

o, au

2. SI l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par elles - mèmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valcurs correspondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite.

:

DEMONSTRATION.

SOIT l'équation ay=bx, en la réduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y; soit presentement une ligne droite AH, dont le point A soit fixe; & ayant pris sur AH l'inter

F1G. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené DE parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b :: x. y, en quelque endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on assigne à l'inconnue x, celle de y fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG est le lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation proposée ay=bx. C. Q. F. D.

COROLLAIRE Ι.

3. SI l'équation proposée étoit déterminée, comme ay = bc, ce seroit toujours la même chose, excepté que la lettre a qui tient la place de x, est constante; ainsi ayant FIG. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le seul point E qui résout le Problême, puisque AD = ne peut avoir differentes

valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre ; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.

5.

COROLLAIRE III.

étoit égale

SI dans l'équation précedente ay = bx, a à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB ; & assignant à x la valeur arbitraire AD; FIG. 3.

DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD=x.

COROLLAIRE IV.

6. IL est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité: comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y = x, ou x. y :: I. 1.

7. On voit aussi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entre elles le même raport.

THEOREME.

8.S I dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par consequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATIΟ Ν.

Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n°. 6.) entre elles un raport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres font multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner : c'est pourquoi, en assignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit.

EXEMPLE.

9. SO IT l'équation yy = aa - xx, qui est du second degré; Il est clair, 1°. Que x croissant, y diminue: car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpasse la ligne exprimée par a : car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy =aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite; puisque ses qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré.; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen FIG. 4. de son équation yy = aa - xx. Soit une ligne droite CH, donnée de position dont l'extrêmité C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x ; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ foient nommées,

mées, y; soit aussi une ligne donnée KL nommée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera=CP=x, & PM=CQ=y.

Si l'on affigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de y (PM). De forte que tous les points M seront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy=aa-xx.

Supposons premierement x = 0; le point P tombera en C, & le point M, sur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la supposition de x=0, l'on aura yy =aa, aa, donc y = a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on faffe Ce, & CE chacun E=KL=a; CE sera la valeur positive de y, & Ce sa valeur negative, & les points E & e, feront à la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y = o, le point se confon. dra avec le point C, le point M tombera fur CH, & l'on aura o=aa-xx, ou xx=da; donc x = + a ; c'est pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y = + Vaa - xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM sera la valeur positive de y, & Pm sa valeur negative, & les points M, m feront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 = CM2 - CP2, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa-xx ; donc y=+Vaa-xx.

C