1

par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle G01. Donc leurs côtez sont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG = FC, étant paralleles entre elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc KN= FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il restera FK=CN=DL.

Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK, (; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,S; FO, ou CG ou NR, R; NF ou RO sera /-0,& DR, d-2; les triangles semblables DRO, OFK donneront d - 2

༢ (DR)./=(RO) :: &(OF). c (FK); donc cd --=

CK f2-67, ou cd=s. Et comme cette équation est la mê. me que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque / croissant, & diminue, ou au con- . traire, & qu'on peut augmenter là l'infini , z diminue

2 ra aussi à l'infini ; c'est pourquoi les lignes CH, & CK sont les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. c. l. F. D.

L'équation cd=&a peut aussi se résoudre par le cercle. F16.68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA sera pris

à volonté, si on mene la corde AB, dont AD=C &
DB=d, & que par le point D qui sépare les deux li-
gnes données, on tire à volonté une autre corde EG , la
ligne ED sera égale à 2, & DG égalera s. Mais comine on
peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on vou,
dra , il est manifeste que x & Saugmenteront à l'infini.

COROLLAIRE
F16.67. 1. Il est clair que tous les rectangles semblables à CF *

FO sont égaux entr'eux , puisqu'ils sont toujours égaux au
même rectangle CL * ID; & que l'on a toujours sa

COROLL AIRE I I. 2. Si l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

qui

=

=cd.

C

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point , & les asymptotes en T & en S, TB sera toujours égale à VS: car ayant mené BX & VQ, paralleles aux asymprotes , l'on aura ( Corol. 1.) CX X XB=CQxQV, ou ( en nommant cx, d; XB, C; CQ,S; QV,2;)=cd, ou f<=cd -'02, qui étant changée en analogie, donne d - 2:1-4:: Zic d'où il suit par la DémonC

. stration de cette Proposition que XB=IS; donc TB =VS.

COROLLAIRE I I I. 3. Il est clair

que les parallelogrammes CD, CB,CO, CV sont égaux entr'eux. COROLLAIRE

I V. 4. Si l'on avoit nommé NF, ou RO,S, l'on auroit eu (z=d-ch, qui montre que lorsqu'une équation à

cd l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des asymptotes.

COROLLLAIRE V. . s. Il est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points o que l'on trouve en faisant KO =DI peuvent servir à en trouver d'autres comme B, di Bà en trouver d'autres comme V , &c. PROPOSITION II.

Theorême. 6. En supposant les mêmes choses que dans la premiere F 16.67 Proposition , si l'on mene par le sommet C de l'angle des asymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre 0 G & DL, prolongées ou non prolongées en B & en M. Je dis que le rectangle ČM CN, ou CM ~ LD est égal au re{tangle CP x CF , ou CP x GO.

Х

х

X

=

Ayant nommé les données CL, d; CN, C; CM, a,

м, & les indéterminées CF, ou GO,S; CG, ou F0,2; CP, u. Il faut prouver que ac = = us.

DEMONSTRATION

D E M O N S T R A TI O N. A Cause des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CAL :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: 2. U; donc du = az: mais ( Prop. 1.)/2=cd, d'où l'on tire z=; mettant donc certe valeur de ༢

dans l'équation précédente , l'on aura fu= ac. C. Q. F.-D.

On peut encore démontrer cette Proposition en cette sorte. À cause des paralleles DM,OP, l'on a CL. CG :: CM.CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente fx=cd, en la place de d (CL) & de 3 (CG) leurs proportionnelles a (CM) & u(CP), l'on aura fu=ac. PROPOSITION III.

Problême. F16. 69.7. UNE Hyperbole MBm , dont les asymptotes font CT,

CH, étant donnée , il faut d'un point quelconque B , donné sur l'Hyperbole , mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites BG & B I paralleles aux asymptotes, soit prise IT=C1. Je dis que

que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

D E'MONSTRATION. Par l'Hypothese TBH rencontre l'Hyperbole en B ; & parceque CI=IT, TB sera aussi = BH; d'où il suit que BT H ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point B: car si elle la rencontroit en un autre point 0; HO ( no. 1.) = BT seroit =BH.ce qui est impossible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. c. Q. F. D.

.

R

=

COROLLAIRE I. 8. Il est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées

par les asymptotes en T & H, sont divisées en deux également par le point touchant B.

COROLL AIRE II. Il fuit aussi que si la position de la tangente T BH, 9. est telle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT seront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI sont égaux, le parallelo. gramme GI sera un rhombe ; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI = CH double de CG; c'eft pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

COROLLAIRE III. 10. Il suit encore que fi l'angle des asymptotes HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH , la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point tou. chant B sera = BH=BT ; fi cet angle est aigu, CB

= surpassera BH, ou BT ; s'il est obtus C B sera moindre que BH, ou BT: car si du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point c sera sur la circonférence si l'angle HCT est droit ; hors du demi cercle, s'il est aigu ; & dans le demi cercle , s'il est obtus; donc au premier cas CB =BH ou BT ; au second, CB, surpasse B H, ou BT ; & au troisième , elle est moindre.

COROLLA IRE 11. Il est encore manifeste que les lignes IK , Mm paralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en P par la droite C B prolongée, car puisque BH = BT, PL sera = PK: mais (n’. 2.) ML=mK; donc

= PM= Pm.

1

I V.

.

PROPOSITION IV..

Problême, 12. Une équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée décrire l'Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes , que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'an. gle des asymptotes.

Soit c l'origine des indéterminées *, qui va vers 7, & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune =a, on achevera le parallelogranime CGBI: & l'on décrira ( Prop. 1. ) l’Hyperbole MBM, entre les asymptotes CT, & CH.

DEMONSTRATION,
Elle
L E est évidente par la premiere Proposition.
PROPOSITION

Theorême.
F 16.69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT sont les

asymptotes ; soit aulli par un point quelconque B, menée (no. 7.) une tangenre HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P , l'on mene PM parallèle à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les asymptotes en L & K. Fe dis

que

CP
CB:. PM' :: CB:. BH', ou ce qui revient au même , ayant
prolongé B C en A, & fait CA = - CB, que A P x ÞB,
PM::: AB'. TH”,

Ayant mené BI, BG, mQ &mN paralleles aux asymprotes, & nommé les données AC, ou CB, a;BH, ou

, BT ,6; CI, ou GB, C; CG, OU IB, d; & les indétermi. nées CP, *; PM , ou Pm, y; CQ, ou Nm,S; CN ou om, K; AP sera x+a , & BP, . a.

Il faut prouver que xx

aa. yy :; aa. bb :: 402. 466.

V.

Х