DEMONSTRATION. bx LEs triangles- semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (b) :: CP (x). PKbx; donc mK = —y, mL = bx+y; & à cause des triangles femblables TBI, KmQ, & BHG, mLN, l'on a b (TB). d (BI) :: bx — y (Km). z( mQ), & b (BH). c { BG) :: bx + y (mL). / (mN), d'où l'on tire ces deux équations bz― bdx dy, & bfbcx+cy, & en multipliant le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & le fecond par le fecond, l'on a bbf= →edyy: mais bbcdxx aa par la premiere Propofition fcd; donc bb bbxx aa yy, en divifant par les quantitez égales fz, & cd; d'où 14.IL eft évident (Art. 9. n°. 7, 11 & 12), & par cette équation xx-aa — aayy qui eft la même bb que celle du même Article no. 11, que le point C, eft le centre de l'Hyperbole MBm, que A B eft l'axe; fi l'angle. CBHF16.70; eft droit; autrement AB eft nommée diametre détermi né; que D E parallele & égale à HT eft l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que F P eft le parallelogramme des coordonnées, COROLLAIRE III FIG. 70. 15. L'ÉQUATION précedente xx— aa ——— donne x= ± √bb +yy, qui fait voir que fi l'on prolon- 3 Si dans la même équation on fait x=o, ayant mené NO parallele à DE, ou à PM, les points P & Q fe confondront avec le point C, & l'on aura y➡+ √ ➡bb. Or parceque les valeurs de y.font imaginaires; il fuit que 'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire auffi de la même équation y = √xx aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, NQn des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou CQ) furpafle a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorfque CP= CB, ou xa: car xx-aa devient aa aa = 0; & conféquent y + 1/2 √xx ad = 0; & que lorsque les points P&Q tombent entre A & B, c'eft-à dire, lorf que a furpaffe x, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : car la quantité xx aa devient negative, & par conféquent les valeurs de = ±1/√xx aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx-aa= fait voir que x (CP, ou CQ) aayy par بو croiffant, y (PM, ou QN) croît auffi; c'eft pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolonge de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm & N An oppofées l'une à l'autre, qui ne fe rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce font ces deux parties de Î'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles oppofees. COROLLAIRE III. 16. IL eft clair que les Hyperboles oppofées font égales & femblables; puifque les coordonnées NF, NQ de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre. 17. COROLLAIR E. IV. 3 IL est auffi manifeste que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées vers g, & versk, font auffi les Afymptotes de l'Hyperbole oppofée NAn; puifque Nk & ng, font toujours égales à mK & ML. COROLLA TREV. par le 18. Il est encore évident que la ligne hAt menée point A parallele à DE, ou HT; & qui rencontre les Afymptotes en h & t, eft égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A, puifqu'elle eft divisée en deux également en A, comme HT l'eft en B; & que CA=CB. COROLLAIRE VI. bx bx 19. L'ON a (no. 12.) MZ-y, & MK = + a ML COROLLAIRE VII. 20. L'ON tire de l'équation à l'Hyperbole xx — aa ay mais GMx— & MO x+ : car les trian ay - > b b gles semblables HBC, CFG donnent HB (b). BC ( a ) :: CF ou PM (y). FG = & ay b partant GM = FM OM × MG ( xx − ) = CB' (aa). bb DEFINITION S. 21. SI F'on décrit (Prop. 1.) dans les angles HCt, TCh par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles oppofées RDS, rEf, ces Hyperboles feront nommées conjuguées aux Hyperboles oppofées MBm, NAn. 22. IL eft clair que les lignes Ht, Th pafferont par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, rEf, puifqu'elles y font divifées par le milieu, comme AB, à qui elles font paralleles & égales, l'eft en C. 23. D'où il fuit que DE & AB font les axes conjuguez des Hyperboles RDS, rEf, fi DE eft perpendiculaire à AB; autrement, elles en font deux diametres conjuguez. AVERTISSEMENT. 24. Il n'eft point neceffaire de démontrer que les Hyperboles RDS, rEf, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBm, NAn; puifque ce ne feroit qu'une répétition inutile. DEFINITI Ο Ν, DEFINITION. 25. SI l'on fait a. b:: 2b. 2bb a que je nommep, la ligne égale à p, eft appellée le parametre du diametre AB. fire xx-aa.yy: za.p, & fi l'on met en la place de aa bb un autre raport égal l'on aura xx — aa = n ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. n°. 9. 10. 11. & 12.) 27. SI l'on avoit nommé (no. 12.) BP, x; AP áuroít été 2a+x,& l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx aayy bb qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il fe trouve des feconds termes dans fon équation. |