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DEMONSTRATION.

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bx

LEs triangles- semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (b) :: CP (x). PKbx; donc mK = —y, mL = bx+y; & à cause des triangles femblables TBI, KmQ, & BHG, mLN, l'on a b (TB). d (BI) :: bx — y (Km). z( mQ), & b (BH). c { BG) :: bx + y (mL). / (mN), d'où l'on tire ces deux équations bz― bdx dy, & bfbcx+cy, & en multipliant le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & le fecond par le fecond, l'on a bbf= →edyy: mais

bbcdxx

aa

par la premiere Propofition fcd; donc bb

bbxx

aa

yy, en divifant par les quantitez égales fz, & cd; d'où

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14.IL eft évident (Art. 9. n°. 7, 11 & 12), & par cette

équation xx-aa —

aayy qui eft la même

bb

que

celle du

même Article no. 11, que le point C, eft le centre de l'Hyperbole MBm, que A B eft l'axe; fi l'angle. CBHF16.70; eft droit; autrement AB eft nommée diametre détermi né; que D E parallele & égale à HT eft l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que F P eft le parallelogramme des coordonnées,

COROLLAIRE III

FIG. 70. 15. L'ÉQUATION précedente xx— aa ———

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donne

x= ± √bb +yy, qui fait voir que fi l'on prolon-

ge MF en N, en forte que F NFM, le point N.
fera à l'Hyperbole ; & fi l'on fait y la ligne M N
fe confondra avec la ligne AB, le point F avec le point
C, & l'on aura x =+a, d'où il fuit que le point M fe
confond avec le point B, & le point N avec A; de forte
que CA=CB, & que le point A fera à l'Hyperbole.

3

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Si dans la même équation on fait x=o, ayant mené NO parallele à DE, ou à PM, les points P & Q fe confondront avec le point C, & l'on aura y➡+ √ ➡bb. Or parceque les valeurs de y.font imaginaires; il fuit que 'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire auffi de la même équation y = √xx aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, NQn des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou CQ) furpafle a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorfque CP= CB, ou xa: car xx-aa devient aa aa = 0; & conféquent y + 1/2 √xx ad = 0; & que lorsque les points P&Q tombent entre A & B, c'eft-à dire, lorf que a furpaffe x, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : car la quantité xx aa devient negative, & par conféquent les valeurs de = ±1/√xx aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx-aa= fait voir que x (CP, ou CQ)

aayy
bb

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par

بو

croiffant, y (PM, ou QN) croît auffi; c'eft pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolonge de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm

& N An oppofées l'une à l'autre, qui ne fe rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce font ces deux parties de Î'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles oppofees.

COROLLAIRE III.

16. IL eft clair que les Hyperboles oppofées font égales & femblables; puifque les coordonnées NF, NQ de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre.

17.

COROLLAIR E. IV.

3

IL est auffi manifeste que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées vers g, & versk, font auffi les Afymptotes de l'Hyperbole oppofée NAn; puifque Nk & ng, font toujours égales à mK & ML.

COROLLA TREV.

par le

18. Il est encore évident que la ligne hAt menée point A parallele à DE, ou HT; & qui rencontre les Afymptotes en h & t, eft égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A, puifqu'elle eft divisée en deux également en A, comme HT l'eft en B; & que CA=CB.

COROLLAIRE VI.

bx

bx

19. L'ON a (no. 12.) MZ-y, & MK = +

a

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ML

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COROLLAIRE VII.

20. L'ON tire de l'équation à l'Hyperbole xx — aa

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ay

mais GMx— & MO x+ : car les trian

ay - > b

b

gles semblables HBC, CFG donnent HB (b). BC ( a )

:: CF ou PM (y). FG = &

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ay b

partant GM = FM

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OM × MG ( xx − ) = CB' (aa).

bb

DEFINITION S.

21. SI F'on décrit (Prop. 1.) dans les angles HCt, TCh par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles oppofées RDS, rEf, ces Hyperboles feront nommées conjuguées aux Hyperboles oppofées MBm, NAn.

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22. IL eft clair que les lignes Ht, Th pafferont par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, rEf, puifqu'elles y font divifées par le milieu, comme AB, à qui elles font paralleles & égales, l'eft en C.

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23. D'où il fuit que DE & AB font les axes conjuguez des Hyperboles RDS, rEf, fi DE eft perpendiculaire à AB; autrement, elles en font deux diametres conjuguez.

AVERTISSEMENT.

24. Il n'eft point neceffaire de démontrer que les Hyperboles

RDS, rEf, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBm, NAn; puifque ce ne feroit qu'une répétition inutile.

DEFINITI Ο Ν,

DEFINITION.

25. SI l'on fait a. b:: 2b.

2bb

a

que je nommep, la ligne

égale à p, eft appellée le parametre du diametre AB.

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fire xx-aa.yy: za.p, & fi l'on met en la place de

aa

bb

un autre raport égal l'on aura xx — aa =

n

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ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. n°. 9. 10. 11. & 12.)

27.

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SI l'on avoit nommé (no. 12.) BP, x; AP áuroít été 2a+x,& l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx

aayy

bb

qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il fe trouve des feconds termes dans fon équation.

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