bx cdyy: mais bbxx aa D'EMONSTRATION. = bz - = , le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & bbcdacao le second par le second, l'on a bbf2= par la premiere Proposition fæ=cd; donc bb yy, en divisant par les quantitez égales s, & cd; d'où l'on cire xx donc ** -- aayy :: aa .bb :: : 4aa. 466. C. Q.F. D. CORO I L'A LR E I. 14. Il est évident (Art. 9. no. 7, 11 & 12), & par cette équation xx — aa = , qui est la même que celle du même Article no. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole M Bm, que A B est l'axe; fi l'angle. CBH F16.70; est droit ; autrement AB est nommée diametre détermi. né; que D E parallele & égale à HT est l'axe , ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF sont les or. données ou appliquées aux diametres conjuguez A B & DE. De sorte que F P est le parallelogramme des coordonnées, aayy da = bb aayy bb aayy donne X à COROLLAIRE: LIC F16.70. 15. L'ÉQUATI QUATION précedente x x - aa = + Vbb + yy, qui fait voir que fi l'on prolonge M F en N; en sorte que F N FFM, le point N. fera à l'Hyperbole ; & fi l'on fait g = a, la ligne M N se confondra avec la ligne A B, le point F avec le point C, & l'on aura x= +a; d'où il suit que le point M fe ; confond avec le point B, & le point N avec A; de sorte que CA=CB, & que le point A sera à l'Hyperbole. Si dans la même équation on fait x=0, ayant mené NQ parallele à DE, ou à PM , les points P & q se confondront avec le point C, & l'on aura y=+-bb. Or parceque les valeurs de y. sont imaginaires ; il suit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire aussi de la même équation y=+Vxx — aa; il suit que l'Hyperbale rencontre les paralleles MPm; Non des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou cQ) surpasse a ( CB ou CA); qu'elle coupe A B en B & À , lorsque CP = CB, ou x= a: car xx -aa devient ad - aa=0;& par conséquent y=+Vxx - du=0; & que lorsque les points P && tombent entre A & B , c'est-à dire, lorsque a surpasse x, l'Hyperbole ne rencontre point les pa- . ralleles à De menées entre A & B : car la quantité xx aa devient negative , & par conséquent les valeurs de +Vxx – aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx — aa= fait voir que x (CP, ou CQ) croissant, y(PM, ou IN ) croît aussi ; c'est pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolonge de parr & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBM b = & g aayy bb 17. & N An opposées l'une à l'autre, qui ne se rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce sont ces deux parties de l'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles opposées. COROLLA I R E III. 1 16. Il est clair que les Hyperboles opposées sont égales & semblables; puisque les coordonnées NF, N2 de l'une sont égales aux coordonnées MF, MP de l'autre. COROLLA I E. I V. Il est ausi manifeste que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbolė MBm, étant prolongées vers g, & versk, sont ausli les. Asymptotes de l'Hyperbole opposée N AN; puisque Nk & ng, sont toujours égales à mK & ML. CORO L L ÀIRE -V. V. ois 18. Il est encore évident que la ligne bÀt menée par le point A parallele à De, ou HT, & qui rencontre les Afymptotes en b&t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole Ñ An en A; puisqu'elle est divisée en deux également en A , comme HT l'est en B & que CA=CB. COROLLA I R E VI. :: la )): !؟ bbaca X a +y, qui bxi, cibx l'on a aussi (no, 13.) bb= -yg= g montre que BH'(66) = KM * ML. COROLLAIRE VII. . 20. L'on tire de l'équation à l'Hyperbole XX -- ad = cette autre équation aa=.xx aayy aayy ay bb b ay b b mais GM=* ay : car les triangles semblables HBC, CFG donnent HB (6). BC (a) :: CF ou PM(y). FG= ; & partant GM = FM ay b aayy XX bb OM x MG ( xx - ) = CB" (aa). D E' F'INITI O. NS. 21. Si l'on décrit ( Prop. 1.) dans les angles HCt, Tch par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles opposées RDS, rEs, ces Hyperboles seront nommées conjuguées aux Hyperboles opposées MBM, N An. COROLLAIRE VIII. 22. Il est clair que les lignes Ht, Th passeront par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, rEs, puisqu'elles y sont divisées par le milieu, comme AB , à qui elles sont paralleles & égales, l'est en C. COROLLAIRE I X. que DE & AB sont les axes conjuguez des Hyperboles RDS, TEJ, fi DE est perpendiculaire à AB; autrement, elles en sont deux diametres conjuguez. A V E R-TIS SEM E N T. 2 I RDS, FEť, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBM, NAn; puisque ce ne feroit qu'une répétition inutile. 23. 24. DE'FINITION, 2bb D E' FINITION. 25. Si l'on fait a.6:: 26 . que je nomme p, la ligne égale à p, est appellée le parametre du diametre AB. P m myy bb n cire xx - aa.yy :: za.p, & si l'on met en la place de un autre raport égal l'on aura xx On ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. no.9.10. 11. & 12.) COROLLAIRE X I. 27. Si l'on avoit nommé (no. 12.) BP, *; AP auroit été 2a +*, & l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il se trouve des seconds termes dans son équation. gayy bb 28. SI dans l'équation à l'Hyperbole xx-aa= OU bb aayy a est=b, ces deux équations de bb viendroient les deux suivantes xx — aa=yy, & 2ax to R |
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