CZ d cd c'est zadz de t, . bdx ab : mais EI +10=8+ ; & BN(d). BC (a) :: MI (). MO =. Enfin les triangles semblables EOM , ECL donnent [+* (E0). (OM):: 2/(EC).t.(CL), d'où l'on tire 2052 : mais (Prop. 1.) k=cd, &f=", df+cz pourquoi en mettant ces valeurs de & de fz dans celle l'on aura t= Or l'on vient de trouver dd +zz ady mettant donc cette valeur de 2, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura 2aabbx — 2ažby après les réductions t= aabbbbxx - zabxy +-aayy (Prop. s. ) aayy =bbxx - aabb; c'est pourquoi en mettant cette valeur de aayy dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t = ; d'où l'on tire x.a::a.t.C.Q.F.D. COROLLAIRE I. 32. Il est clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné sur l'Hyperbole, mener une tangente fans le secours des asymptotes, en prenant CL troisième proportionnelle à CP'& à CB. COROLLA IRE II. 33.SI Si de CP (*) l'on ôte CZ (), l'on aura P2= pour l'expression de la soutangente PL. COROLLA IRE III. 34. SI de CB (a) l'on ôre cz (1), l'on aura B I ou si l'on suppose que CP (x) devienne infi ad XX — ad as niment grande , le point touchant M sera infinimene éloigné de B; & effaçant le terme — aa dans l'expression de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, l'on aura BL d'où il fuit que le point I tombe en C, & la tangente L M devient Ç E qui est l'asym. ptore de l'Hyperbole. PROPOSITION VIII. Theorême. F 16.72. 35. U NE Hyperbole B M, dont c eft le centre ; A B & DE, les axes conjuguèk, étant donnée ; si l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris sur l'Hyperbole, les droites MF, MG, & (no. 32. ) la tangente ML. Je dis que l'angle L M F sera égal à l'angle LMG. Ayant mené l'appliquée M P perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE,b; CF, ou CG, ou BD, r; MF; 2; MG,); CP, *; PM,y; PF fera, x-C; PG , *+ *; & CL (no, 31.) donc FL ag X cx aa : : CX Il faut prouver que MF (2). MG (D):: F2 ( $ -- aa. cx + aa. D E' MO N s TR A TION. & le triangle rectangle BCD donne xx bbxx aabb CCXX AAKX bb = - aa , mettant donc cette valeur de ble dans aace that l'équation C, l'on a yy= & mettant cette valeur de уу dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines , cx da = = az, &.cx + aa =as; donc exi ad. Cx to da:: az af:: 2.1.C.2. F. D. . 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F. D E É INITIO N. 37. Les points F & G sont appellez les foyers de l'Hyper, bole, SECTION VIII. Où l'on donne la méthode de résoudre les problémes indéterminez du premier e du fecond degré c'est-à-dire , de construire les équations à la ligne droite, aux quatre courbes du premier genre , qui font le Cercle, la Parabole , l'Ellipse & l'Hy perbole. м Етнор Е. 'On a vû dans les Sections précédentes 1o. Que XV. L les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne sont multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite , & que lorsque ces équations n'ont que deux termes , comme celle-ci ay =bx , ou x=y; les inconnues x & y ont leur origine au point d’interfe&tion de deux lignes droites, dont l'une renferme tous, les points qui satisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere , la construction du Problême se trouve faite. 2o. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre , le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy ; les inconnues x, & y ont ' leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que lorsqu'elle a plus de deux termes, los rigine des inconnues n'est point au sommet d'un diame. 3o. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troisiéme est entierement connu, comme sa — XX = que tre. XX = ou xx_ da S = at -6 CC aayy aayy yy, da — xx= les inconnues bb bb * & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes , & que lorsque ces équations ont des seconds termes, l'origine des inconnues n'est point au centre. 4o. Que lorsqu'une équation aux asymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un est le produit des deux indéterminées , & l'autre un Plan connu comme ху ab , l'origine des inconnues x & y est au sommet de l'angle des asymptotes , & que lorsque cette équation a plus de deux termes , l'origine des inconnues est ailleurs où l'on remarquera que les quantitez constantes, quelque composées qu'elles se puissent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire ; puisque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs simples : par exemple cette équation xx=yy, est une équation au cercle dont le centre est l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité simple dd= de sorte que mettant dd dans l'équation précé 24 - 64 dente en la place de elle deviendra dd XX —yy: Il en est ainsi des autres. Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de construire les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de proposer ; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à sa parabole, & aux asymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l’Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole , n'avoit que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de second: mais lorsqu'on résout un Problême , les équations où l'on arrive ne sont pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans S at 64 j CC CG |
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