CZ EI +10=f+; & BN (d). BC (a) :: MI (2). MO =. Enfin les triangles semblables EOM, ECL donnent ∫+(EO).(OM) :: 2∫(EC).t(CL), d'où l'on tire t= 2afz df+cz cd : mais (Prop. 1.) x=cd, & f = =, c'est pourquoi en mettant ces valeurs de f& de sz dans celle de t, l'on aura t = bdx ab ady zadz dd+zz Or l'on vient de trouver ; mettant donc cette valeur de z, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura 2aabbx - 2a3by : mais après les réductions t = _ COROLLAIRE I. 32.IL eft clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné sur l'Hyperbole, mener une tangente fans le secours des asymptotes, en prenant CL troifiéme proportionnelle à CP & à CB. COROLLAIRE II. aa 33. SI de CP (x) l'on ôte CL (*), l'on aura PL = xx- aa **-** pour l'expreffion de la soutangente PL. ax-aa 20 aa () l'on aura BL ou fa l'on suppose que CP (x) devienne infi : : niment grande, le point touchant M sera infiniment éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expression de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax, l'on aura BL = ax = a as d'où il suit que le point Z tombe en C, & la tangente LM devient CE qui est l'asymptote de l'Hyperbole.. : PROPOSITION VIII, Theorême. FIG. 72. 35. UNE Hyperbole BM, dont Ceft le centre; AB DE, les axes conjuguez, étant donnée ; fi l'on fait CF & CG chacune égale à l'intervalle BD, ou BE, & que l'on mene d'un point quelconque M, pris fur l' Hyperbole, les droites MF, MG, & (no. 32.) la tangente ML. Je dis que l'angle LMF fera égal à l'angle LMG. Ayant mené l'appliquée MP perpendiculaire à l'axe AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CF, ou CG, ou BD, c; MF, Z; MG, S; CP, × ; PM,y; PF aa fera, x-c; PG, x + 1; & CL (no. 31.) -, donc FL Il faut prouver que MF (2). MG (S) :: FL (-) B. xx + 2cx+cc+ yy = ff: mais (Prop. 4.) bbxx aabb C. yy aa , & le triangle rectangle BCD donne bb cc - aa, mettant donc cette valeur de bb dans l'équation C, l'on a yy = ccxx aa & mettant cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines, cx aa = az, & cx + aa = af; donc cx - ad. cx + da:: az af:: z. S. C. Q. F. D. : COROLLAIRE 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F. DEFINITION. 37. Les points F & G font appellez les foyers de P'Hyper bole, ???? ? y??? ????????? 21.02 1.1 Où l'on donne la méthode de résoudre les Problémes indéterminez du premier & du fecond degré c'est-à-dire, de construire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cercle, la Parabole, L'Ellipse & l'Hy. perbole. L XV. a vû dans les Sections précédentes 10. Que les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorsque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay = bx, ou x = y; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous, les points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, la construction du Problême se trouve faite. 2o. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax =yy; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que lorsqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet d'un diame tre.. 3°. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l'Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes, deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troifiéme est entierement connu, comme aa - xx = x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes, & que lorsque ces équations ont des seconds termes, l'origine des inconnues n'est point au centre. 4°. Que lorsqu'une équation aux asymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un est le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy = ab, l'origine des inconnues x & y est au sommet de l'angle des asymptotes, & que lorsque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues est ailleurs; où l'on remarquera que les quantitez constantes, quelque composées qu'elles se puissent rencontrer, ne changent rien de ce que nous venons de dire; puisque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs simples: par exemple cette équation a+b+ au cercle dont le centre est l'origine des indéterminées : car on peut trouver (Art. 5.) une quantité simple dd= ; de forte que mettant dd dans l'équation précédente en la place de elle deviendra dd CC a4-b4 Il en est ainsi des autres. CC - xx = yy. Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de construire les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de proposer; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux asymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l'Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoit que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de second: mais lorsqu'on résout un Problême, les équations où l'on arrive ne font pas toujours, ou plutôt, sont rarement dans S |