cet état. Ce qu'il y a de conftant, c'est que lorsque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimenfions, foit qu'elles foient multipliées par elles-mêmes, ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des quatre Courbes du premier genre. Il est même trèsfouvent facile de reconnoitre par la feule inspection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puiffe fe méprendre, qui eft lorfqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues fe rencontre encore dans quelqu'un de fes termes: car ces équations appartiennent fouvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle, ou à la parabole, ou à l'Ellipse: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu, & que le produit des deux inconnues fe trouve dans un autre terme l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il fera libre de la réduire aux diametres, ou aux afymptotes, comme on va bien-tôt voir. Il fuit de tout ceci que pour conftruire les équations qui ne font point dans l'état des précédentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes aufquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres régles que celles des trois Sections précédentes, ou il faut donner des régles pour ramener ces équations à l'état où font celles des mêmes Sections, afin de fe fervir des mêmes régles dont on s'y eft fervi pour décrire ces Courbes: mais comme il va paroître un Livre de Monfieur le Marquis de l'Hôpital (pour l'intelligence duquel celui-ci ne fera peut-être pas inutile) dans lequel on trouvera des Méthodes de conftruire les équations indéterminées, telles qu'on les trouve en refolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxième degré, à l'état de celles par le moyen desquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précédentes. Les moyens dont on se sert pour changer d'état ces équations, font nommées réductions. DES RÉDUCTIONS Des Equations indéterminées du premier & du fecond degré. 1. Il n'y a que deux chofes qui empêchent les équations indéterminées du fecond degré, d'être femblables, ou dans le même état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Courbes aufquelles elles appartiennent dans les trois Sections précédentes. Ces deux chofes font les feconds termes, & les rectangles compofez, de forte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les régles ordinaires les feconds termes, & changer les re-. ctangles, ou produits compofez en des rectangles, ou des produits fimples. J'appelle rectangle compofé, le produit d'une lettre ou quantité connue, ou inconnue ou inconnue, par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou fouftraction d'une autre lettre ou quantité connue fimple, ou compofée. Par exemple ay +xy, eft un rectangle compofé de a±x × y ; aa±ay, eft un rectangle compofé a +y xa; aax±axy, est un rectangle composé de aa + ay xx; ay b b +by+xy, eft composé de a+b+x xy. Il en est ainfi des autres. , 2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes femblables aux rectangles compofez dont nous venons de parler. Par exemple aa -by, n'eft point le produit d'une quantité fimple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y eut un 6 dans le premier terme aa; c'eft pourquoi il faut b (Art 5) changer aa en un rectangle dont un côté foit b, comme en br, & mettant be en la place de aa, l'on by cy xb. Il en eft ainfi des autres. Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les feconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits compofez en des produits fimples, aura bc = & il y en a d'autres où il y a toutes ces deux chofes à faire. Les exemples fuivans ne laifferont rien à éclaircir fur ce fujet. 3. EXEMPLES. De la réduction des Equations en faisant évanouir les ON fçait que la régle de faire évanouir le second terme d'une équation, eft d'égaler la racine du premier ou — le coefficient du fecond divifé par l'expofant du premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équation' que j'appelle réduction; d'où l'on tire une valeur de l'inconnue qui eft la racine du premier terme de l'équation à réduire ; & fubftituant cette valeur, & celle de ses puiffances dans l'équation à réduire, elle fe change en une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire évanouir le fecond terme, ne fe trouve plus, mais il se trouve en fa place la nouvelle inconnue de la réduction, dont le premier terme est élevé à la même puissance que celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en a point de fecond. Ceci eft général pour les équations de tous les degrez, quoiqu'il ne foit ici queftion que des équations du fecond, 4. = SOIT IT l'équation xx―axyy axyy by. Il eft clair que cette équation appartient au cercle, puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx & yy qui ont le même figne + étant tous deux dans un même membre de l'équation; mais les inconnues n'ont point leur origine au centre: car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un second terme ax & by. Pour faire évanouir le second terme — ax, je fais x — a=z; doncxz+a, & mettant cette valeur de x, & celle de fon quarré dans l'équation, elle deviendra zz — 1⁄2 aa →yy=by, où zz est un premier terme qui n'en a point de fecond. Pour faire évanouir le second terme by, je le paffe du côté de son byo; & faifant y — 1/2 b =u, l'on a y = a + 1b; & mettant cette valeur de y & celle de fon quarré dans l'équation en la place de = = y & de yy, 5. 4 EXEMPLE I I. zax 2 yy= o. On SOIT une équation xx + bx voit déja que cette équation eft à une Hyperbole équilatere; puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus avec differens fignes dans un même membre, & délivrez de toute quantité connue; en faisant x + 1 b — a = 2, l'on aura x =— 1⁄2 b+a, & après les substitutions l'on o, ou ༢༢.— རྞ ‰ ྂ aura zz — bb + ab + ab — aa―yy: mais fib surpasse a il faudra tranfpofer le terme connu : car en ce cas il eft pofitif, & dans l'équation à l'Hyperbole il doit être négatif; ainfi l'équation fera + 1 bb — ab + aa, ༡༡ ༢༢.= y༡ + 1 ྂ6 ༢ aa où les inconnues & y ont leur origine au centre de l'Hyperbole, dont les demi diametres conjuguez font égaux entr'eux & à 22 b —a, ou a b. 6. SOIT xx-2xy + by =o, qui est une équation où il y a un second terme 2xy qui peut appartenir indifferemment aux deux premiers: mais parceque le quarré de y ne s'y trouve point, il faut nécessairement le rapporter à xx; faifant donc x-y=z, l'équation se réduira à zz — y + by ➡o: mais la réduction a fait naître un premier terme yy qui a pour fecond by; c'est pourquoi en tranfpofant pour donner à yy le figne+, l'on a z=yy — by, & faisant y-bu; l'équation fe réduira à z = uu — bb, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues & u ont leur origine au centre. EXEMPLE IV. 7. SOITXX XX- -2xyaa 2yyo, en faifant x —y =z, l'équation se réduit à celle-ci zz-yy aa+2yy ༠, ༠u ༢༢. — aayy =0, qui eft une équation au cercle, files inconnues &y font un angle droit ; à l'Ellipse, s'il eft oblique. Si dans l'équation à réduire xx — lieu de zyy. il y avoit 2xy aa + zyy, au ・yy, ou — 2yy &, elle appartiendroit à l'Hyperbole dont les diametres ne font point égaux; s'il y avoit +3yy ou +4yy &c, elle appartiendroit à l'Ellipfe, & fi au lieu de 2yy, il y avoit +by+yy appartiendroit à la parabole. EXEMPLES. Des réductions en changeant les produits compofez en elle ON réduit en changeant les produits compofez en des produits fimples, toutes les équations où il n'y a point de quarrez inconnus, qui font celles qui appartiennent à la ligne droite, ou aux afymptotes de l'Hyperbole, celles où il n'y a qu'un quarré inconnu fans le produit des inconnues, qui appartiennent toutes à la parabole; & celles où il n'y a qu'un quarré inconnu avec un produit des deux inconnues, qui appartiennent toutes à l'Hyperbole. On pourroit auffi réduire ces dernieres, en faisant évanouir le fecond terme, comme on a fait (no. 6. ) auquel cas elles appartiendroient aux diametres de l'Hyperbole : mais en les réduifant en changeant les rectangles compofez en de |