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fimples, elles se rapporteront aux afymptotes. Toutes ces fe équations ne feront point entiérement réduites par cette feconde maniere de réduction, que lorfqu'elles ne renfermeront que deux termes.

EXEMPLE V.

8. SOIT l'équation, x+y=a, ou x = a — y, en faifant a-y=z, l'on aura x = qui est un lieu à la ligne ༡=༢, droite. Si l'on fait x+y=z, l'on aura z=a, qui est auffi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne fe doivent pas trouver dans une réduction quand on peut faire autrement.

Soit l'équation x-ya-c, ou x = a — c +y: en faifant a- c+y=z, l'on aura x =2.

EXEMPLE

9. SOIT l'équation ax

Τ

V I.

-by= = aa, ou ax = aa+by, ou ax = bc + by, en mettant be pour aa, ayant fait c+y l'on aura ax = bz, qui est un lieu à la ligne droite.

=༢.,

10.

EXEMPLE VII.

SOIT l'équation ax — xy

༢;

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z, l'onayal'équation à réduire, l'on aura xz = ab

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xy=by, en faisant a — ·y =a-z; & mettant cette valeur de y dans bz qui a encore trois termes; c'eft pourquoi, en tranfpofant, l'on a xz + bz=ab : & faisant x+b=u, l'on a uz = ab, qui est une équation aux asymptotes de l'Hyperbole.

EXEMPLE VII I.

=

11.SOIT abx bey+axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue; c'est pourquoi en divifant toute boy l'équation par a, l'on aura bx xy, & faisant

bc

1bc

a

a

+x=z, l'on a x=- & mettant cette valeur

de x dans l'équation à réduire, l'on aura bz

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& faisant encore b-yu, l'on aura

qui est un lieu aux afymptotes de l'Hyberbole.

SOIT

EXEMPLE IX.

12. DIT l'équation xx—ax=by, pour faire évanouir le fecond terme, on fera x-1 a=

7, & l'on aura X

l'on aura

— aa=by, ou = aa + by, ou bc + by, en met-
tant bc pour aa, & faifant encore c+y=u,
bu, qui est un lieu à la parabole dont le

༢༢ =
est b.

=

EXEMPLE X.

parametre

&

13. SOIT l'équation xx + xy = ab. On peut réduire cette équation en faisant évanouir le fecond terme, elle se rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car faifant x+y=2, l'on aura zg—yy = ab, ou zz— ༢༢.. abyy. Mais parceque xxxy=x × x±y, en faisant x+y=l'on aura zx=ab qui fe rapporte aux afymptotes,

EXEMPLE X I.

14. SOIT xxxy=by, on pourroit encore réduire cette équation en faisant évanouir les feconds termes, & elle fe rapporteroit aux diametres de l'Hyperbole : mais on peut auffi la réduire aux afymptotes comme l'on a fait la précédente: car en transposant, l'on a xx = = by Voyez l'ar-xy; & faifant x+b=z, l'on a x=2-b, & mettant cette valeur de x dans l'équation à réduire, l'on aura zy, ou zy + 2bz — zz=bb, & faifant y l'on aura uz = bb, qui fe rapporte aux

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CONSTRUCTION DES REDUCTIONS.

XVI. EN réduifant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus fimples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'eft par le moyen de ces Réduations que l'on conftruit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la conftruction en particulier pour avoir plus de facilité à conftruire les autres.

Toutes les Réductions fe peuvent rapporter à quelqu'une des fix Formules fuivantes, où a, b &c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou incomplexes.

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De la premiere Formule x + a = 2.

1. SO IT A le point fixe, ou l'origine des inconnues x, F1 G. 73. qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être felon les qualitez du Problême, dont on fuppofe ici que l'on fait la conftruction. 1°. Si la Réduction est x + a = 2, il est clair que la conftruction fe doit faire fur la ligne AH exprimée par x ; & que pour avoir fur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à z, il faut prolonger AH du côté de A en C, en forte que AC=a: car l'on aura alors CA + AH = a +x=z; & ainfi le point C fera alors l'origine, ou le commencement de qui va vers H, & de y qui va versg. en demeurant toujours parallele à AG, de forte que s'il n'y avoit point de Réduction pour y, le point feroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de conftruire eft une Réduction.

༢.

T

FIG. 74.

FIG. 73.

2. Si la Réduction eft x-az, l'on prendra le point C du côté de H par raport à A, & l'on fera ACa;& le point C fera le commencement de qui va toujours vers H, & de y qui va vers g parallele à AG; car alors AH-AC-CH=x—a—z ; & s'il n'y avoit point de réduction pour y, le point C feroit l'origine des inconnues de l'équation réduite.

АН АС

y a

3. Mais fi dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les 74. deux Cas précédens, il y a une réduction pour y femblable à la précédente, par exemple, y bu l'on fera fur Cg ce que l'on vient de faire fur AH, c'est-à-dre, que s'il y a y + b ya y + b = u, on prolongera Cg en 0, & s'il y-bu, l'on retranchera Co de Cg, en faifant Co, ou Cob; & le point 0, ou o fera l'origine des inconnues de l'équation réduite z qui va toujours vers g, & qui va vers M, ou m parallele à CH; de forte que les nouvelles inconnues & font le même angle au point 0, ou que les premieres x &y au point A, qui eft leur origine.

=u

น.

CoN TR U C TI 0 N

De la feconde Formule a — x — z.

4. L'ON voit par la feule inspection de cette Formule que les deux inconnues x & font enfemble égales à la FIG. 75. grandeur a; c'eft pourquoi A étant le commencement de x qui va vers H, ayant pris fur AH l'intervalle AC =a, le point C fera le commencement de z, qui en ce cas va vers A, & de y qui va vers g parallele à AG: car fi l'on prend librement un point Dfur AC; AD étant x, CD fera a-x=z; & le point D n'étant point fixe ne peut être l'origine de c'est pourquoi puisque x a fon origine au point A, z commencera néceffairement au point fixe C, & ira par conféquent vers A.

༢;

5. S'il y a encore une Réduction pour y femblable à une des deux premieres Formules, on la conftruira comme on a fait les précédentes.

CONSTRUCTION

De la troifiéme Formule x+y=2.

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6. TOUTES les Réductions, où se trouvent les deux
inconnues x &
y de l'équation à réduire, viennent des
équations où les mêmes inconnues font multipliées l'une
par l'autre dans quelque terme, & où l'une des deux, ou
toutes les deux font quarrées. Or pour ne point se trou
ver embarraffé dans la conftruction de la Réduction, la
lettre inconnue de la Réduction qui eft multipliée par l'au-
tre inconnue dans l'équation à réduire, doit être con-
struite la premiere; par exemple, fi l'équation à réduire
est xx—xy — ab; foit qu'on faffe x — y=z,
=, pour faire
évanouir le fecond terme, foit qu'on faffe x-y=z pour
changer le rectangle compofé xx
xxxy, en un fimple xz,
il faudra toujours conftruire y la premiere.

=

Suppofons dans cette Formule que y étoit multipliée, parx dans l'équation à réduire; & foit A le point fixe où FIG. 76. commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec AG un angle quelconque GAH. Si outre la Formule que l'on conftruit, il y a une reduction pour y, elle fera semblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle fera y+bu, & on la conftruira comme les précedentes en prenant fur AH, prolongée ou non prolongée felon qu'il y a y+b, ou y—b, la partie AC, ou AD=b, & l'origine de l'inconnue z fera au point C, s'il y a y+b= =2; au point D, s'il y a ybu, & ira vers H dans l'un & l'autre cas : mais s'il y a b-yu, by=u, le point D sera l'origine de « qui ira

vers A. Cela pofé.

Si la Réduction est x+y=z, l'on prendra fur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé EF en B, en forte que EB = AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF BE + E F —

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