simples, elles se rapporteront aux asymptotes. Toutes ces équations ne seront point entiérement réduites par cette seconde maniere de réduction, que lorsqu'elles ne renfermeront que deux termes.

=

لا

=

و

Ε Χ Ε Μ Ρ Ι Ε V. 8. Soit l'équation , x+y=a, ou x=a-y, en fai- . sant a-y=2, l'on aura x=2 qui est un lieu à la ligne droite. Si l'on fait x +y=, l'on aura z=a, qui est aussi un lieu à la ligne droite: mais les deux inconnues d'une équation ne se doivent pas trouver dans une rédu. ction quand on peut faire autrement. Soit l'équation *—y=a — , oux=a −6+y: en "x;

=: faisant a -6+y=k, l'on aura x =2

E x E M P L E V I. 9. Soit l'équation

T l’équation ax — by = aa , ou ax = aa + by, ou ax = bc + by, en mettant bc pour aa , ayant fait c+y ERO l'on aura ax=bz, qui est un lieu à la ligne droite.

EXEMPLE VII. 10. Soit l'équation ax — xy = by, en faisant a ---Y

= a

-g =k, l'on ay =

=a-ki & mettant cette valeur de y dans l'équation à réduire, l'on aura x2 = ab bz qui a encore trois termes; c'est pourquoi, en transposant, l'on a x2 + bz=ab: & faisant x +b=u, l'on a uz=

uz=ab, qui est une équation aux asymptotes de l’Hyperbole.

E x E M P LE VIII.

Ε Χ Ε Ρ Ι 11. S017 abx

bcy + axy; parceque dans les équations où il n'y a point de quarré inconnu, c'est le produit des deux inconnues qui en détermine le degré, il faut, avant que de les réduire, délivrer ce produit de toute quantité connue; c'est pourquoi en divisant toute

boy l'équation par a, l'on aura bx

a

II

a

a

a

bc

lbc
+x=2
l'on a x=2

& mettant cette valeur ;

bbc de x dans l'équation à réduire, l'on aura bz

bbc ou bx – 2y =

& faisant encore b-y=u, l'on aura bbc 24 =

qui est un lieu aux asymptotes de l’Hyberbole.

EXE M P L E I X.

Ε MPL E
Soit
It l'équation xx — ax=by , pour faire évanouir

=
le second terme , on fera x-{a=, & l'on aura 27-
14 by , ou Q=, aa + by , ou x=bc + by, en met-
tant bc pour , aa , & faisant encore c+y=u,

l'on aura 27 bu, qui est un lieu à la parabole dont le parametre

a

=

12.

da = 4

est b.

EXEMPLE X. 13. So it l'équation

It l'équation xx + xy = ab. On peut réduire cette équation en faisant évanouir le second terme , & elle se rapportera aux diametres de l'Hyperbole : car faisant x+iy=, l'on aura 23 — iyy = ab, ou

2 ab

Mais

parceque xx + xy=x*x+y, en faisant x+y=x, l'on aura zx=ab qui fe rapporte aux asymptotes.

E x E M P L E XI. 14. Soit xx — xy = by, on pourroit encore réduire cette équation en faisant évanouir les seconds termes, & elle se rapporteroit aux diametres de l'Hyperbole : mais on peut aussi la réduire aux asymptotes comme l'on

a fait la précédente: car en transposant, l'on a xx = =by Voyez l’ar- + xy ; & faisant x+b=2, l'on a x=-6, & mettant cette valeur de x dans l'équation à réduire, l'on aura za

wy, ou 2y + 26% ༢༢ =bb, & faisant y + 262=u, l'on aura uz=66,

- l'on aura uz =bb, qui se rapporte aux afymptotes.

CONSTRUCTION

=

ticle 22. n°.9.

26z+ bb

CONSTRUCTION DES RE'DUCTIONS. xvi. En réduisant les équations indéterminées, l'on en forme d'autres plus simples, que nous avons nommées Réductions. Et comme c'est par le moyen de ces Rédu.

. ions que l'on construit les premieres, l'on a jugé à propos d'en donner ici la construction en particulier pour avoir plus de facilité à construire les autres.

Toutes les Réductions se peuvent rapporter à quelqu'une des six Formules suivantes, où

6&c expriment des quantitez connues quelconques complexes, ou incomplexes. 1. x+a=7 4. x+= 2. a—x=2 s. x+y+6=2 3. x+y=2 6. x+'+c=2:

:2

a

X

CONSTRUCTION

=

ܕ

De la premiere Formule x +2=Z. 1. Soit A le point fixe, ou l'origine des inconnues x ,F16.73; qui va vers H, & y qui va vers G, & qui forment l'angle GAH tel qu'il doit être selon les qualitez du Problême, dont on suppose ici que l'on fait la construction. 1o. Si la Réduction est x + a=, il est clair que la construction

= fe doit faire sur la ligne AH exprimée par x ; & que pour avoir sur AH indéfiniment prolongée vers H une ligne égale à x, il faut prolonger AH du côté de A en C, en forte que AC=a: car l'on aura alors CA + AH=d +*= 2; & ainsi le point C sera alors l'origine, ou

le commencement de z qui va vers H, & de y qui va versg, en demeurant toujours parallele à AG, de forte

que

s'il n'y avoit point de Réduction pour y , le point Ċ seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite, dont celle que l'on vient de construire est une Réduction.

F10.74

Fig. 73

2. Si la Réduction est x-a=, l'on prendra le point

= ༢ C du côté de H par raport à A, & l'on fera AC=a;& le point c sera le commencement de « qui va toujours vers H, & de y qui va vers g parallele à AG; car alors AH - AC=CH=x-a=3;& s'il n'y avoit point

xde réduction pour y, le point C seroit l'origine des inconnues de l'équation réduite.

3. Mais si dans l'un ou dans l'autre, ou dans tous les 74. deux Cas précédens, il y a une réduction pour y. sembla

ble à la précédente , par exemple, y + b =u l'on fera
sur cg ce que
Cg

l'on vient de faire sur A H, c'est-à-dre, que s'il y a y+b=u, on prolongera Cg en 0 ; & s'il y a

=u, l'on retranchera Co de Cg, en faisant co, ou Co=b; & le point 0, ou o sera l'origine des inconnues de l'équation réduite u qui va toujours vers g, & a qui va

z vers M, ou m parallele à CH; de sorte que les nouvelles inconnues z&a font le même angle au point o, ou o que les premieres x & y au point A, qui est leur origine.

ya

y-b=

6

- X=Z

De la seconde Formule a — X=Z.
L'on voit
4

par la seule inspection de cette Formule que les deux inconnues x & z sont ensemble égales à la

༢ F16.75. grandeur a; c'est pourquoi A étant le commencement

de x qui va vers H, ayant pris sur A H l'intervalle AC

le point C sera le commencement de 2, qui en ce cas va vers A , & de y qui va vers g parallele à AG: car si l'on prend librement un point D sur AC; AD étant x, CD sera a -- x=2;& le point D n'étant point fixe ne

= peut être l'origine de z; c'est pourquoi puisque x a son origine au point A, z commencera nécessairement au point fixe C, & ira par conséquent vers A.

s. S'il y a encore une Réduction pour y semblable à une des deux premieres Formules, on la construira comme on a fait les précédentes.

CONSTRUCTION

De la troisiéme Formule x+y=z. 6. Tout es les Rédu&ions , où se trouvent les deux Τουτ,

TE inconnues x & у de l'équation à réduire, viennent des équations où les mêmes inconnues sont multipliées l'une par l'autre dans quelque terme, & où l'une des deux, ou toutes les deux sont quarrées. Or pour ne point se trou. ver embarrassé dans la construction de la Réduction, la lettre inconnue de la Réduction qui est multipliée par l'autre inconnue dans l'équation à réduire, doit être construite la premiere; par exemple, si l'équation à réduire est xx– xy=ab; soit qu'on fasse x- y=x, pour

{

faire évanouir le second terme , soit qu'on fasse x-y=x pour changer le rectangle composé xx - xy, en un simple xx,

— il faudra toujours construire y la premiere.

Supposons dans cette Formule que y étoit multipliée, par x dans l'équation à réduire ; & soit A le point fixe où F 16.76. commencent les inconnues x qui va vers G, & y qui va vers H, & qui fait avec A G un angle quelconque G AH. Si outre la Formule que l'on construit, il y a une redu- . ction pour y, elle sera semblable à une des deux précedentes, c'est-à-dire, qu'elle sera y +b=u, & on la construira comme les precedentes en prenant sur AH, prolongée ou non prolongée selon qu'il y a y+b, ou y—b, la partie AC, Ou AD=b, & l'origine de l'inconnue u sera au point C, s'il y a y+b=u; au point D, s'il y a y-b=u, & ira vers ń dans l'un & l'autre cas : mais

H s'il y a b-y=u, le point D sera l'origine de u qui ira vers A. Cela posé.

Si la Réduction est x+y=, l'on prendra sur AD un point quelconque E, par où l'on menera EF parallele à AG, & ayant prolongé E F en B, en sorte que EB =AE, l'on menera de A par B la ligne AB indéfiniment prolongée du côté de B, & BF = BE + EF

=

by