(Const.) AE + EF sera = x+y=z, & le point A fera l'origine des trois inconnues x, y & z. Mais s'il y avoit une Réduction pour y telle que celle qu'on vient de construire, l'origine des inconnues u parallele à AH & z parallele à AG, seroit au point O ou P, où la ligne AB rencontreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire font à present AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF. Si la Réduction croît x-y=z, les points B, O& P seroient de l'autre côté de AH. 7. ELLE est la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EB = AE, il faut prendre EB telle que EB. EA :: a. b: car BF=EF + EB = x +7=& CONSTRUCTION De la cinquième & fixième Formule x+y+b=z, 8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à cause de +6, & de + c; c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x + y, & x + 7, F 16.76. on prendra sur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a + b, ou + c) AI=b, ou = c; & l'on menera par I la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=z, ou x+++c=z, & le point I sera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y: mais s'il y a une réduction pour y, le point Lou M sera l'origine des inconnues u & x; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, sont presentement IK & KF, ou LK & KF, ou MK & KF. L'on a supposé qu'il y avoit + dans les deux réductions que l'on vient de construire : mais il n'est pas plus difficile de les construire, en supposant qu'il y a par tout ou + & -, ou - & +: car cela ne peut que changer la position des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles. CONSTRUCTION Des équations, ou des lieux à la ligne droite. XVII. AU lieu de proposer simplement des équations à construire, on proposera des Problêmes à résoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & ensuite la Démonstration. PROBLÉME INDÉTERMINÉ. 1. UN angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans FIG. 77. un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM foit égale à une ligne donnée AB. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui est une équation à ligne droite, & qui fournit cette construction. Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui fatisfont au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un parallelogramme, l'on aura toujours QN = AB, ou x == a. C. Q. F. D. Tiij PROBLEME INDÉTERMINÉ. F1 G. 78. 2. UN angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient ensemble égales à une ligne donnée KL. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée KL, a ; & les inconnues AP, x & PM, y; l'on aura par les qualitez du Problême x + y = a, ou y = a - x, qui est une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a – x = z : ce qui réduit l'équation à celle-ci y = z, qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction. Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême. DE'MONSTRATΙΟΝ. A Caufe de la réduction a - x=z, AB étant nom- 1 PROBLÉME INDÉTERMINÉ. F16. 79. 3. DEV X lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de position. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME soit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x, 1 4 PM, y; EM fera y - a ; & l'on aura par les conditions du Problême y a.x::m.n; donc mx = ny - na; & comme l'on ne peut point trouver une seconde équation, il suit que le Problême est indéterminé: & le lieu qui renferme tous les points qui satisfont au Problême est une ligne droite; puisque dans l'équation mx = ny-na, les inconnues x & y n'y sont multiplices, ni par elle-même, ni entr'elles. Pour réduire cette équation à deux termes, je faisy - a=z, & mettant z dans l'équation pour y - a, l'on a mx = nz qui donne cette construction. A étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui va vers H, & y qui va vers G, à cause de la réduction y - a = z, le point B devient l'origine des inconnues x qui va vers K, & & qui va vers G; soit pris BC=n, & mené par C la droite CD parallele à BG & = m. Je dis que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D fatisfait au Problême. DE'MONSTRAΤΙΟΝ. AYANT mené par un point quelconque N pris fur Mx = -na, CONSTRUCTION Des Equations ou des lieux au cercle. PROBLÉME INDÉTERMINÉ.. : XVIII. UN E ligne AB étant donnée de grandeur & de FIG. 80. pofition. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarré de MB dans la raison donnée de m à n. Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a; & les indéterminées AP, x; & PM, y; PB fera à - x; MA2, xx + yy, & MB2, aa2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problême xxyy. aa - 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx + nyy 2max + mxx + myy, ou en supposant que furpassen, mxx - nxx - 2max + maa + myy-yy + + yy = o, en divifant par m maa = 0, ou xx : 2max m-n maa m-n mn; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il suit que le Problême est indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes signes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par x & y font un angle droit; il suit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui est la même chose, que tous les points qui satisfont au Problême sont à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver : mais comme il y a un second terme dans l'équation, il est clair (Art. 12. no. 14.) que le point A qui est l'origine des inconnues x & y n'est point le centre de ce cercle; pour le trouver il faut faire évanouir le second substitué z+ valeur de x & fon quarré dans l'équation l'équation à celle-ci yy ma 一, m-n |