2

=

(Const.) AE+ EF sera

=x+y=,& le point A sera l'origine des trois inconnues x, y& 2. Mais s'il y avoit une Réduction pour y telle que celle qu'on vient de construire, l'origine des inconnues u parallele à AH & z parallele à AG, seroit au point o ou P, où la ligne AB rencontreroit la parallele à AG menée par C ou par D;

de forte

que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire sont à present AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF.

Si la Réduction croît x-y=k, les points B, 0 & 1 seroient de l'autre côté de AH.

CONSTRUCTION,

ay

z.

b

De la quatrième Formule x + 7. Elle est la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EB=AE, il faut prendre EB telle que

E EB. EA :: a. b:car BF= EF + EB=x+6=2. :

h

CONSTRUCTION

ay

+

C=Z

b

ay

De la cinquième & fixième Formule x +y+b=2,

&x+++c=z. 8. La construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu’à cause de +6, & de +r;

c'est pourquoi ayant construit (no. 6. & 7.) x +y, &x+ , F 16.76. on prendra sur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a +b, ou +c) A1=6, ou=; & l'on menera

b

& par i la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne B E F prolongée du côté de B, & KF sera =x+y+b=r, ou x+3+=, & le point I sera l'origine des inconnues y&z, s'il n'y a point de réduction pour y: mais s'il y a une réduction pour y, le point I ou M

у sera l'origine des inconnues u & %; de sorte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, sont presentement

IK & KF, ou LK & KF, ou MK & K F.

L'on a supposé qu'il y avoit + dans les deux réductions que l'on vient de construire : mais il n'est pas plus difficile de les construire, en supposant qu'il y a par tout ou + &- , ou —&+: car cela ne peut que changer la position des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes & à la ligne AH; & dans tous les cas AB & IK seront toujours paralleles.

a

CONSIR U CIION

Des équations, ou des licux à la ligne droite. XVII. A U lieu de proposer simplement des équations à construire, on proposera des Problèmes à résoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & ensuite la Démonstration.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ.

1. Un angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans F 16.77. un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM soit égale à une ligne donnée AB.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée AB, a; & l'inconnue PM, * ; l'on a par la qualité du Pro

x blême x=a, qui est une équation à ligne droite, & qui fournit certe construction.

Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui satisfont au Problême.

DEMONSTRATION. . AYAN

ANT mené par un point quelconque N de la ligne BM, la droite N e parallele à AG; A N étant un parallelogramme, l'on aura toujours (N=AB, ou x= a. C. Q. F. D.

Tiij

PROBLEME INDÉTERMINÉ. F16.78.2. UN angle G AH étant donné, il faut trouver dans cet

angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM soient ensemble égales à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP, * & PM,y; par les qualitez du Problême x+y=a, ou y=a – X, qui est une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a — x=: ce qui réduit

= l'équation à celle-ci y=, qui n'en a que deux , & qui donne cette Construction.

Ayant pris fur AH & sur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis points comme M de la ligne BC satisfont au Problême.

l'on aura

=

que tous les

D E'M ONS TRATION.

x

A Caufe de la réduction a éx=%, AB érant nom

= = mée a, & AP, *; BP sera a - * ou 2, dont l'origine

x est ( Art. 16. no. 4.) en B, & qui va vers A. Or puisque ( Const. ) AB= AC & P M parallele à AC, P M sera égale à PB ; c'est pourquoi AP + PM, OU AP+PB= KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C. Q.F.D.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. 3. Dev x lignes paralleles AH, BK terminées en A &B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de position. Il faut trouver dans l'angle G B K le point M, d'où ayant mené M P parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME sóit à AP, ou à BE dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a ; & les inconnues AP, ou B E , *,

Fig. 79:

ز

ny na, les

PM, ;); E M sera y — a ; & l'on aura par les conditions

du Problême y -a . t::m.ni donc mx = ny — na; &

у comme l'on ne peut point trouver une seconde équation, il suit que le Problème est indéterminé : & le lieu qui renferme tous les points qui satisfont au Problême est une ligne droite ; puisque dans l'équation mx = inconnues * & y n'y sont multipliées, ni par elle-même , ni entr'elles. Pour réduire cette équation à deux termes , je fais y a=2, & mettant z dans l'équation pour y - a, l'on a mx=nz qui donne cette construction.

Å étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui va vers H, & y qui va vers G, à cause de la réduction -a=, le point B devient l'origine des inconnues x qui va vers K, & & qui va vers G; Toit pris BC=N,& mené par C la droite CD parallele à BG &=m. Je dis que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D satisfait au Problême.

D E'MONSTRATION. AYANT

A NT mené par un point quelconque N pris sur BI, la droite NOR parallele à AG, ou à CD, les triangles semblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: *: ; donc mx =nz ou mx=ny - na, en mettant pour z sa valeur

=. y-a, qui est l'équation que l'on a construite. C.Q.F.D.

CONSTRUCTION

Des Equations ou des lieux au cerclc. PROBLEME INDÉTERMINÉ.. xvIII.UN E ligne A B étant donnée de grandeur & def 16. 80. position. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en sorte qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne AB, les droites MA, MB, le quarré de MA soit au quarré de MB dans la raison donnée de m à n.

IG

.

me xx +yy

da

2 Max

mag
+
m-n mn

+ уу

&

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera da point M sur A B la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées À P, *; & PM, y; PB sera à — X; MA', *x + yy., & M B’, aa 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problê,

20x + xx + yy :: M.n; donc nxx+ nyy = maa - 2max +'mxx + myy, ou en supposant que

= m furpalle n, mxx — nxx — 2max + maa + myy — yy

+
O, Ou xx

=o, en divisant
o

par man; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il suit que le Problême est indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes lignes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par x & y font un angle droit ; il suit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui est la même chose , que tous les points qui satisfont au Problême sont à la circonference d'un cercle ; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver : mais comme il y a un second terme dans l'équation, il est clair ( Art. 12. no.14.) que le point A qui est l'origine des inconnues * & y. n'est point le centre de

x ce cercle ; pour le trouver il faut faire évanouir le second terme ; pour ce sujet, je fais *

=2, qui réduira

у

ma

mn

mnda

mm - - 2mn + nn

ma

l'équation à celle-ci yy=

=; car ayant substitué 2+ valeur de x & son quarré dans l'équation

m2 a2 précedente, on aura 22