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(Conft.) AE+ EF fera = x+y=z, & le point A sera l'origine des trois inconnues x, y & z. Mais s'il y avoit une Réduction pour y telle que celle qu'on vient de conftruire, l'origine des inconnues u parallele à AH & z parallele à AG, feroit au point 0 ou P, où la ligne AB rencontreroit la parallele à AG menée par C ou par D; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire font à prefent AB & BF, ou OB & BF, ou PB & BF. Si la Réduction croît x-y=z, les points B, O & P feroient de l'autre côté de AH.

7.

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ELLE eft la même que la précedente, excepté qu'au lieu de prendre EBAE, il faut prendre EB telle que EB. EA :: a. b: car BF=EF+ EB = x+%/ = 7/2 =

CONSTRUCTION

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De la cinquième & fixième Formule x±y±b=z,
ay
&x + 2/2 +c=z.

b

8. LA construction de ces deux Formules ne differe de celle des deux précedentes qu'à caufe de+b, & de +c; c'est pourquoi ayant conftruit (no. 6. & 7.) x ±y, & x+%/3%, FIG. 76. on prendra fur AG prolongée du côté de A (en supposant qu'il y a + b, ou+c) AI=b, ou = c; & l'on menera par la ligne IK parallele à AB qui rencontrera en K, la ligne BEF prolongée du côté de B, & KF fera =x+y+b=2, ou x+%/+c=z, & le point I fera l'origine des inconnues y & z, s'il n'y a point de réduction pour y: mais s'il y a une réduction pour y, le point Z ou M fera l'origine des inconnues u & %; de forte que les coordonnées de la courbe qu'il faut décrire, font prefentement

༢.,

IK & KF, ou LK & KF, ou MK & KF.

L'on a fuppofé qu'il y avoit dans les deux réductions que l'on vient de conftruire : mais il n'eft pas plus difficile de les conftruire, en fuppofant qu'il y a par tout — ou ― &+: car cela ne peut que changer la pofition des lignes AB & IK par raport à elles-mêmes, & à la ligne AH, & dans tous les cas AB & IK feront toujours paralleles.

ou + &

CONSTRUCTION

Des équations, ou des lieux à la ligne droite.

XVII. Au lieu de propofer fimplement des équations à construire, on propofera des Problêmes à réfoudre ; & après avoir ramené les équations que l'on en tirera à l'état de celles des trois Sections précedentes, on en donnera la Construction, & enfuite la Démonftration.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

1. UN angle GAH étant donné, il faut trouver au dedans F 1 G. 77un point M, d'où ayant mené MP parallele à AG, PM foit égale à une ligne donnée AB.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a ; & l'inconnue PM, x; l'on a par la qualité du Problême x=a, qui eft une équation à ligne droite, & qui fournit cette construction.

Soit menée par B la ligne BM parallele à AH. Je dis que BM renferme tous les points qui fatisfont au Pro

blême.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par un
par un point quelconque N de la ligne
BM, la droite NQ parallele à AG; AN étant un pa-
rallelogramme, l'on aura toujours QN AB, ou x=
T iij

a. C. Q. F. D.

=

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 78. 2. UN angle GAH étant donné, il faut trouver dans cet angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL.

FIG. 79

ذلود

l'on aura

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP,x & PM par les qualitez du Problême x+y=a, ou y = a — x, qui eft une équation à la ligne droite: mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a — x=z : ce qui réduit l'équation à celle-ci yz, qui n'en a que deux, & qui donne cette Conftruction.

Ayant pris für AH & fur AG les lignes AB & AĆ égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême.

DE'MONSTRATION.

A Caufe de la réduction a—x=z, AB étant nom-
mée a, & AP, x; BP sera a — x ou z, dont l'origine
— ༢
eft (Art. 16. no. 4.) en B, & qui va vers A. Or puifque
(Conft.) AB= AC & PM parallele à AC, PM fera
égale à PB; c'est pourquoi AP+PM, ou AP+PB=
KL, ou en termes Algebriques x+y=a. C. Q.F.D.

3.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

DEU

EU X lignes paralleles AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raifon donnée de mà n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x,

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a; & l'on aura par

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ni

par

les conditions PM, y; EM fera y du Problême y-a.x::m.n; donc mx = ny — na ; & comme l'on ne peut point trouver une feconde équation, il fuit que le Problême eft indéterminé : & le lieu qui renferme tous les points qui fatisfont au Problême eft une ligne droite, puifque dans l'équation mx = ny-na, les inconnues x & y n'y font multipliées, elle-même, ni entr'ellés. Pour réduire cette équation à deux termes, je fais y , je fais y — a=2, & mettant z dans l'équation pour y -a, l'on a mx=nz qui donne cette construction. A étant le point fixe ou l'origine des inconnues x qui va vers H, & y qui va vers G, à cause de la réduction — az, le point B devient l'origine des inconnues x qui va vers K, & qui va vers G; foit pris BC=n, & mené par C la droite CD parallele à BG &= m. Je dis que la ligne indéfinie BDI menée par les points B & D fatisfait au Problême.

DE'MONSTRATION.

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AYANT mené par un point quelconque N pris fur
BI, la droite NOR parallele à AG, ou à CD, les
triangles femblables BCD, BQN donneront BC. CD::
BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: x'. Z;
z
mx = nz ou mx = ny — na, en mettant pour fa valeur
y—a, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

CONSTRUCTION

donc

Des Equations ou des lieux au cercle.
PROBLEME INDÉTERMINÉ..

XVIII. UN E ligne A B étant donnée de grandeur & de FIG. 80:

pofition. Il faut trouver hors de cette ligne un point M, en forte

qu'ayant mené de ce point aux extrémitez A & B de la ligne AB, les droites MA, MB, le quarré de MA foit au quarré de MB dans la raifon donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera da point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a; & les indéterminées AP, x; & PM,y; PB fera ax; MA', xx + yy, & MB2, aa— 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problê me xxyyaa — 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx + nyy maa 2max +mxx + myy, ou en fuppofant que m furpaffe n, — 2max + maa + myy -yy

=

o, ou xx

mxx

2max

m-n

+

nxx

maa

mn

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+yy = 0, en divifant par

mn & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il fuit que le Problême eft indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes fignes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par x & y font un angle droit ; il fuit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui eft la même chofe, que tous les points qui fatisfont au Problême font à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver mais comme il y a un fecond terme dans l'équation, il eft clair (Art. 12. n°. 14.) que le point A qui eft l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre de ce cercle; pour le trouver il faut faire évanouir le fecond

terme; pour ce sujet, je fais x —

ma

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―, qui réduira

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ma

m-n

•,; car ayant

mm- 2mn + nn

fubftitué z+ valeur de x & fon quarré dans l'équation

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