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on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée ; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l’Article précedent des équations déterminées. En effet, résoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

R E M A R RU E. 1. Les valeurs arbitraires que l'on alligne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivene souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et si elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, seront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x= -b-y, toutes les valeurs arbitraires que

l'on

peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée 6, autrement celles de x seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & si l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=6—6=0. Dans cette équation

= - yy,

les valeurs arbitraires ner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation seroit negatif. Si l'on fait y=a, l'on aura xx=aa — aa=0,

= & đi l'on faisoit y=é, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. li

=ta. Mais dans cette équation ax=by; on peut donner telle

= valeur

que l'on voudra à l'inconnue y:car x aura toujours une valeur positive, à moins que l'on ne false y=0, auquel cas l'on aura ax=0, ou x=;=0.

THE O R E M E. Si I l'on assigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, elles ne sont multipliées ni par elles-mêmes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valcurs correspondantes de l'autre inconnue, seront dans une ligne droite.

XX = AA

que l'on

peut don

0.

2.

=

DEMONSTRATION.
Soit

T l'équation ay=bx, en la réduisant en Analogie l'on a a. 6:: x. y; soit presentement une ligne droite AH,

dont le point A soit fixe; & ayant pris sur AH l'interF 16. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B,

la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené D E parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a.

6:: .. y, en quelqué endroit de la ligne AH

que
l'on

prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire que l'on assigne à l'inconnue x, celle de fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que

la ligne AG est le lieu qui renferme tous les points qui satisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation proposée ay=bx. C. C.F. D.

CORO L I AIRE I. SI 3. I l'équation proposée étoit déterminée, comme ay =bc, ce seroit toujours la même chose, excepté que

la lettre « qui tient la place de x, est constante; ainsi ayant FIG. 3. pris sur AH, AD=1, & mené DE parallele à BC; DE Iera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de

y la ligne AG, il n'y a que le seul point E qui résout le Problême , puisque AD=r ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II. 4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre ; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.

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V.

COROLLA IR E III. S.

Si dans l'équation précedente ay=bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC: AB ; & afsignant à x la valeur arbitraire A D; Fig. 3. DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD=x.

COROLLA IR E IV. 6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entre elles un raport constant, c'est-à-dire, qu'elles sont l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente ay=bx, où x. y:: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y:: 1.1.

COROLLA IR E 7.

On voit aussi que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue ; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini , en gardant toujours entre elles le même raport.

THE ORE ME. 8. S1 dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & par consequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, de quelque maniere que ce puisse être, l'on aligne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre , seront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION. Dans les équations à la ligne droite, les inconnues. gardent toujours (no. 6.) entre elles un raport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues sont multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

.

:

pour cela,

par l'hy

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble ; elles ou les
lignes qu'elles expriment , ne peuvent garder le même
raport dans toutes les variations ou changemens de va-
leur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit
que l'une des deux fût dans un des membres de l'équa-
tion, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou ac-
compagnées seulement de lettres connues. Mais
pothele, ces deux lettres sont multipliées ou par elles-
mêmes ou entre elles; donc elles ne peuvent garder un
raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on
leur peut assigner : c'est pourquoi, en assignant tant de
valeurs

que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le soient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale , chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui suit.

E X E M P L E.
:9. Soit l'équation yy=aa --- XX,

xx, qui est du second degré; Il est clair, 1°. Que x croissant, y diminue: car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2o. On ne peut pas augmenter * en sorte qu'elle surpasse la ligne exprimée par a : car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y seroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=0. Il est donc évi=

. dent que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite ; puisque ses qualitez sont toutes differentes de celles des équations du premier degré.; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe. Pour déterminer & décrire cette courbe par

le

moyen Fig. 4. de son équation yý=aa-xx. Soit une ligne droite CH,

уу = donnée de position dont l'extrêmité C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x ; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ soient nom

mées,

IT

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=

у

.

,لا

mées, y; soit aussi une ligne donnée KL nonimée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; em sera=CP=x, & PM=CQ=y. OM

Si l'on assigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de (PM). De sorte que tous les points M seront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy=aa—xx. Supposons premierement x=0; le point P tombera

= en C, & le point M, sur la ligne CG ; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul

par

la supposia tion de x=0, l'on aura yy=aa, donc ad у

+a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on falle Ce, & CE chacun E=KL=a; CE sera la valeur positive de & Ce sa valeur negative, & les points E & e, seront à la courbe dont il s'agit. Supposons en second lieu y=0, le point e se confon.

=o dra avec le point C, le point M tombera sur CH, & l'on

xx, ou xx=da; donc x= pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & chacune

CA égale Kl=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A , seront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les

quatre points A, E, B, e, sont également distans du point c.

C. Si l'on assigne à x une valeur quelconque C P moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diame

С tre l'intervalle Kl=a, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M & m; PM sera la valeur positive de & Pm sa valeur negative, & les points M, m seront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM=CM-CP, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa—xx ; donc y=+Vaa —xx.

C

aura Otaa

+a; c'est

XX

,لا

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