m mnaa m-n 2 mna m-n , où les in connues y & zont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & z, il faut construire la réduction x fait en cette forte. ma ༢, =༢: Ce qui fe A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui lui eft perpendiculaire, foit prise AC= point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite eft le quarré du dem diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre C & du rayon √mnaa au lieu de ma, on peut fubftituer gg. Ainfi au lieu de Vmnaa, on aura Vaagg ag. Par confequent Vmnaa ag m-n m n =CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de fa circonférence fatisferont au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT abbaiffé d'un point quelconque M pris fur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', ou CECP eft en termes Algebriques mnaa mm — 2mB+nn PM2, ce qui - ༢༨.==//;car T Or PM=y. Donc PMyy: mais «« — xx — ༢༢. 2max m—n Mettant donc cette valeur de ༢༢ dans & l'équation precedente, on aura après les réductions, tranfpofitions mxx — nxx — 2max + maa+myy — nyy ➡o, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D. PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 80. I. LES mèmes chofes étant fuppofées que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA foit à MB dans la raison donnée de mà n. En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problême Vxx+yy, Vaa — 2ax + xxyy :: m. n; donc n x Vxxyy=mx√aa—2ax+xx+yy, ou nnxx + nnyy = 2mmax mmaa +yy➡o', qui est une équation au cercle mm nn dont l'origine des inconnues x &y n'eft point le centre à ➡, pour faire évanouir le second terme, l'équation se o deftitué de fecond terme : mais réduifant ces termes m2 n2 en même dénomination, il reftera zg +yy➡o, où les inconnues & y ont leur origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou ver ce centre, il faut conftruire la réduction x =2. Ce qui fe fait en cette forte. mma mm Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui eft perpendicu ad m4n m mm on a =AC; le point C fera celui que l'on cherche; c'est pourquoi fi du centre C, & du rayon= mna mm- -nn qui eft la racine du terme connu de l'équation réduite, l'on décrit le cercle DME, tous les points de fa circonférence fatisferont au Problême. m+ n m+n le rayon cherché. fera égale à CE ou CD qui fera On peut encore trouver plus fimplement le centre du cercle en cette forte; puifque mma ; est l'expref fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, fi l'on ôte & fi l'on ajoute à cette expreffion l'ex preffion du demi diametre qui est mná mmnn l'on aura & divifant les deux termes n, & ceux de la fe de la premiere fraction par m — N., conde par m+n, ma m+n ma & -; prenant donc DE fera le diametre du cercle, & par conféquent le point C, qui divise DE par le milieu, fera fon centre. DE'MONSTRATION. AYANT abbaiffé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle DP x PE= PM2. Ce qui eft en termes Algebriques 4 m — 2mmnn +173 -=yy: car DP CD — CP, & PE = CD+ CP. Donc DP x PECDCP x CD + CP= yy, & en divifant les deux termes de la premiere fra↓ qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. REMARQUE. 2. SĮ dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens m est égale à n, elles deviendront xa ; car dans ces deux Problêmes, les analogies fe réduisent à celle-ci, xx + yy. aa — 2ax + xx+yy :: 1. 1. Donc xxyy =ad 2ax + xx+yy• ; • ou bien zax = aa. Par confequent xa; ce qui montre que le lieu qui fatisfait au Problême eft une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de AB, & fim eft moindre que n, dans les réductions, & dans les équations réduites n fe trouvera en la place de m, & m en la place den, & le centre du cercle fera fur AB prolongé du côté de A. : 3. PROBLEME INDETERMINE. 1 DEUX lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- FIG. 81、 tre,& un point fixe Dfur AG étant données ; il faut trouver dans l'angle GAH un point M par où & par D ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le rectangle MD x DB foit égal au quarré de la ligne donnée D A. |