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m

mnaa

m-n

2

mna

m-n

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, où les in

connues y & zont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & z,

il faut construire la réduction x

fait en cette forte.

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ma

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༢,

=༢: Ce qui fe

A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui lui eft perpendiculaire, foit prise AC=

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point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite

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eft le quarré du dem diametre du même cercle; c'est

pourquoi fi du centre C & du rayon

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√mnaa au lieu de ma, on peut fubftituer gg. Ainfi au lieu de Vmnaa, on aura Vaagg ag. Par confequent Vmnaa

ag

m-n

m n

=CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon

CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de fa circonférence fatisferont au Problême.

DE'MONSTRATION.

AYANT abbaiffé d'un point quelconque M pris fur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', ou CECP

eft en termes Algebriques

mnaa

mm — 2mB+nn

PM2, ce qui

- ༢༨.==//;car

T

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Or PM=y. Donc PMyy: mais «« — xx —

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༢༢.

2max

m—n

Mettant donc cette valeur de ༢༢ dans

&

l'équation precedente, on aura après les réductions, tranfpofitions mxx — nxx — 2max + maa+myy — nyy ➡o, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 80. I. LES mèmes chofes étant fuppofées que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA foit à MB dans la raison donnée de mà n.

En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problême Vxx+yy, Vaa — 2ax + xxyy :: m. n; donc n x

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Vxxyy=mx√aa—2ax+xx+yy, ou nnxx + nnyy =
mmaa 2mmax+mmxx +mmyy, ou en fuppofant que m
furpaffen, & divifant par mmnn;
nn, l'on aura xx

2mmax mmaa +yy➡o', qui est une équation au cercle

mm

nn

dont l'origine des inconnues x &y n'eft point le centre à

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➡, pour faire évanouir le second terme, l'équation se

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o deftitué de fecond terme : mais réduifant ces termes

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m2 n2

en même dénomination, il reftera zg

+yy➡o, où les inconnues & y ont leur

origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou

ver ce centre, il faut conftruire la réduction x =2. Ce qui fe fait en cette forte.

mma

mm

Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui eft perpendicu

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ad

m4n

m

mm

on a

=AC; le point C fera celui que l'on cherche; c'est

pourquoi fi du centre C, & du rayon=

mna

mm- -nn

qui eft la

racine du terme connu de l'équation réduite, l'on décrit le cercle DME, tous les points de fa circonférence fatisferont au Problême.

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m+ n m+n

le rayon cherché.

fera égale à CE ou CD qui fera

On peut encore trouver plus fimplement le centre

du cercle en cette forte; puifque

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mma

; est l'expref

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fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, fi l'on ôte & fi l'on ajoute à cette expreffion l'ex

preffion du demi diametre qui est

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mná

mmnn

l'on aura

& divifant les deux termes

n, & ceux de la fe

de la premiere fraction par m — N.,

conde par m+n,
par m+n, l'on aura

ma

m+n

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ma

& -; prenant donc

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DE fera le diametre du

cercle, & par conféquent le point C, qui divise DE par le milieu, fera fon centre.

DE'MONSTRATION.

AYANT abbaiffé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle DP x PE= PM2. Ce qui eft en termes Algebriques

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4 m — 2mmnn +173 -=yy: car DP CD — CP, & PE = CD+ CP. Donc DP x PECDCP x CD + CP=

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yy, & en divifant les deux termes de la premiere fra↓

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qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

REMARQUE.

2. SĮ dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens m est égale à n, elles deviendront xa ; car dans ces deux Problêmes, les analogies fe réduisent à celle-ci, xx + yy. aa — 2ax + xx+yy :: 1. 1. Donc xxyy =ad 2ax + xx+yy• ; • ou bien zax = aa. Par confequent xa; ce qui montre que le lieu qui fatisfait au Problême eft une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de AB, & fim eft moindre que n, dans les réductions, & dans les équations réduites n fe trouvera en la place de m, & m en la place den, & le centre du cercle fera fur AB prolongé du côté de A. :

3.

PROBLEME INDETERMINE.

1

DEUX lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- FIG. 81、 tre,& un point fixe Dfur AG étant données ; il faut trouver dans l'angle GAH un point M par où & par D ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le rectangle MD x DB foit égal au quarré de la ligne donnée D A.

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