: : ISI À LA GEOMETR I E. mna? en même dénomination, il restera tyy 2 ma m та mn connues y & zont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & R, il faut construire la réduction x Ce qui se fait en cette forte. A étant l'origine des inconnues x qui va vers B , & y. qui lui est perpendiculaire , soit prise AC= le point C sera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & 2 Z & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le 'terme connu de l'équation réduite est le quarré du demt diametre du même cercle ; c'est pourquoi fi du centre C & du rayon (Dans Vmnaa au lieu de mir, on peut substituer gg. Ainsi au lieu de Vmnaa, on aura Vaagg ag. Par consequent vmnaa mnad mm 2mn tonn Vmnas m m-1 ag m =CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de la circonférence satisferont au Problême. D E'M ONS TR A T 1. O.N. A Yant abbaissé d'un point quelconque M pris sur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', ou CE –CP=PM ; ce qui ” est en termes 'Algebriques K=yy; car mm -2metean V ag Vmnaa par construction Ce= & CP=2. Donc m mn 2 2max Or PM=y. Donc PM =yy: mais =yy: mais 22 = xx — K maan Mercant donc cette valeur de 《 dans . mm ~2mn + nn a l'équation precedente, on aura après les réductions, & transpositions mxx — nxx — 2max + maa + myy – nyy =o, qui est l'équation que l'on a construite. C. 2.F.D. PROBLÊME INDÉTERMINÉ. F19. 80. 1. Les mêmes choses étant fuppofars que dans le Problème précedent ; il faut trouver le point M, en sorte que MA foit de MB dans la raison donnée de ma n. En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problê. me Vxx + yy. Vaa -- lax + 4x + yy :: m.n; donc n * Xx Vxx + yy=m x Vaa— 2ax + xx+yy, ou nnxx + nnyy mmaa 2mmax +mmxx +mmyy, ou en supposant que m surpasse n, & divisant par mm -- nn, l'on aura xx +- yy=0; qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x & y n'est point le centre à cause du second terme faisant donc x i pour faire évanouir le second terme, l'équation se 2 Mimax tommad mm nn mma 2mmax 6 mm -nn mmnn mm-nn mmnnan m réduira à celle-ci x :+y=0; carayant - 2mmnn tant m'a substitué 4+ & son quarré dans l'é. mt a ma? quation précedente, on aura 22 +9 m'n valeur de x, m mi = o destitué de fecond terme : mais réduisant ces termes mi na + yy=0, où les inconnues z & y ont leur mma mm origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou. Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui est perpendicu ma laire ; foit prise AC = au lieu de = AC, mma mm nin = AC; le point C sera celui que l'on cherche ; c'est m+n pourquoi fi du centre C, & du rayon = mna Pour trouver CE ou CD = il faut faire ma m? -na n. m ::n. =g. Donc substituant g dans l'équation mn m 1 ag mna ag ag ܪ mtn précedente, on aura Puis faisant in to mtn n.a::8 sera égale à CE ou CD qui sera mtn le rayon cherché. On peut encore trouver plus simplement le centre du cercle en cette sorte ; puisque mma est l'expref mm fion de la distance du point A au centre que l'on cherche, si l'on ôte & si l'on ajoute à cette expression l'ex l'on aura pression du demi diametre qui est & & divisant les deux termes cercle, & par conséquent le point C, qui divise DE par le milieu, sera son centre. DEMONSTRATION. A Yant abbaissé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle D P XPE= PM". Çe qui est en termes Algebriques 2mmnn + K=yy: car DP=CD- CP, & PE=CD +o CP. Donc DP XPE=CD-CP x CD + CP= 1 mna mna mna m mn +2= PM. Or CDE & CP == & PM = ma. Donc CD-CP X CD+CP XX m2 .? m2 m4 aa ma 2mman tr mtaa quation précédente l'on a -2mmnntent mm = yy, & en divisant les deux termes de la premiere fral 2mmax +mmaa dion par mm nn l'on a xx + yy=0 qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D. mm nn mmnnas 2mmax XX nn REMARQUE. ..: , ; ; 2. Si dans les équations à réduire des deux Problêmes precedens mest égale à n, elles deviendront <= a; car dans ces deux Problêmes, les analogies se réduisent à celle-ci, *x + yy. aa — 2ax + xx+yy :: 1.1. Donc xx *x + y = aa - 2ax + *x + yy.; ou bien 2ax = . Par consequent x=a; ce qui montreque lelieu qui satisfait au Problême est une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement àu milieu de AB,& fi m est moindre que n, dans les réductions, & dans les équations réduites in se trouvera en la place de m , & m en la place de n, & le centre du cercle sera sur A B prolongé du côté de A. PROBLÈME INDÉTERMINÉ. Dev EV X lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- Fig. 81. tre, & un point fixe Dosur A G étant données ; il faut trouver dans l'angle GAH un point M par D ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le reftangle MD x D B soit égal au quarré de la ligne donnée D A. |
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