.

.

ز

Ayant supposé le Problême résolu, mené du point M sựr G A la perpendiculaire M P., & nominé la donnée AD, a; & les indéterminées D P ,*; PM,y; à cause

; du triangle rectangle DPM, MD sera v xx +yy; & à cause des triangles semblables PDM, ADB; DP (*)

a Vox tyy DM (Vxx + yy)::DA(a). DB=

donc

par axx + ayy la condition du Probleme

(MD * DB) = aa (DA); donc xx — ax +Jy = 0, qui est une équa

— + gy tion au cercle où les inconnues & & y n'ont point leur commencement au centre, parceque xx a un second ter. me - ax; qu'il faut par confequent faire évanouir ; c'est pourquoi en faisant * - į a=k, on réduira l'équa. tion à celle-ci -aa + yy = 0, ou yy = 4 aa — K, où les indéterminées y & Ls ont leur origine au centre que l'on trouvera en faisant DC | AD=da, a

Į

à cause de la réduction x 4 = 4; & parceque le ter. me connu de l'équation eft aa dont la racine esta

au demi diametre du cercle , on décrira du centre C par Di le cercle DMG qui satisfera au Problème.

DEMONSTRATION. AYANT abbaissé d'un point quelconque M la perpendicalaire PM, par la proprieté du cercle, DP * PG=PM”, ce qui est en termes algebriques ( DP érant , * ; & DG,

& , a ; ) ax

XX =yy, OU xx ax + yy=0, qui est l'équa. tion que l'on a construite. c. Q.F. D.

C

.

CONSTRUCTION Des Equations ou des lieux d la Parabole. PROBLÊME INDÉTERMINÉ. xix.Dev X lignes paralleles AH, B G dont les extré. F 1 g. 8zi mitez A & B font fixes étant données de position ; il faut trou. ver entre les deux un point M, par où és par le point A , ayant mené la droite AMD & MP parallele à AB; BD soit à MP; comme une ligne donnée m est à AB.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don-
née AB, a; & les indéterminées A P, X; PM,y; les
triangles semblables MPA, ABD donneront Mé (y).
P A (*) :: A B(a). BD=, & par les qualitez du

=
Problême. y::m. a; donc =yy, qui est une équa-

=,
tion à la parabole, où les inconnues x &y ont leur origine
au sommet du diametre qui est la ligne A H, suivant
ce qui est démontré dans la quatrième & cinquième
Section.
Si l'on fait m. a :: a.*=pip sera le parametre du

P
diametre AH, & l'équation sera px = yy, en mettant
pour la valeur p; & l'on décrira par

' le

moyen de cette équation la parabole A M sur le diametre A H dont le parametre est p, comme il est enseigné ( Art. 10. no. 11.), si l'angle BAP est droit, , ou Art, 11. no. 11, s'il est oblique. Et je dis que tous les points de cette parabole satisfont au Problême.

m

DEMONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque M , pris sur la
parabole, la ligne M P parallele à BĀ, l'on aura par la
propriété de la parabole le rectangle de l'abscisle À Px
P=PM', ce qui est en termes algebriques px=yy, ou

donc agt

=yy, en remettant, pour p sa valeur moi qui est l'équa

=
tion que l'on a construite. C. Q. F. D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ. F16.82, 1. AYANT supposé les mêmes choses que dans le Problème 83. précédent, & ayant prolongé, PM en E. On demande

le

que point M soit tel que BD soit à ME ; comme une ligne donnée m 2 BA.

En laissant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans le Problème précédent, ME sera a -9,& les qualitez du Problême donneronto. a-yy:: m.a; =ma — my, outay- yy, ou yy — ay +

= =o, qui est une équation à la parabole , parcequ'il n'y a qu'un quarré inconnu yy, & que les deux inconnues x&g ne se multiplient point: mais parcequ'elle contient trois termes, le sommet du diametre sur lequel il faut décrire la parabole, n'est point en A ; quoique le point A foie l'origine des inconnues x & y. Il faut donc réduire cette équation, afin de trouver par le moyen des réductions le sommet du diametre sur lequel on doit décrire la parabole qui doit résoudre le Problême. En faisant pour ce sujet 9-4a=u, afin de faire évanouir le second terme ay, l'on réduit l'équation à celle-ci uu

an +

SO, ou uu=aa

aa - ax: car le quarré ur doit être seul dans un des membres de l'équation, & comme il y a encore trois termes dans cette équation, l'origine des inconnues u & x, n'est point encore au fommer du diametre sur lequel on doit décrire la parabole ; il faut donc encore que les deux termes i na

nax se réduisent à un seul. Pour ce sujer on cherchera 1o. une 3e proportionnelle à m & à a, qui étant nommée b; l'équation réduite se changera en celle-ci'au=aa – bx, puisque in =b. 2°. Ayant pris bc =jaa, l'on aura uu = = 6c -bx, en mettant pour aa sa valeur bc ; & faisant enfin, x=, l'on aura uu =

c
=

bx, en mettant pour -x sa valeur %, qui eft une équation

où

m

m

parametre est b.

O

m

faic x=0,

= a.

où les inconnues u & zont leur origine au sommet du diametre sur lequel il faut décrire la parabole, & dont le

Les réductions & les changemens que l'on vient de faire fournissent la construction qui suit. Il est clair que la parabole doit passer par les points A & B:car si dans l'équation à réduire yy - ay +=o, l'on fait y=0; les termes où y se rencontre deviendront nuls, & l'on aura =o, ou x=o, qui montre qu'elle passe par le point A,

A, puisque * & y s'y anéantissent ; & si au lieu de y x

= 0, on Le terme amet se détruira , & l'on aura yy - ay

le 0,

d'où l'on tire y=a, ce qui montre que la parabole passe aussi par le point B; puisqu'en ce cas le point P tombanc en À à cause de x = 0, le point M combe en B à cause de y

Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers Fig. 83. H, & y qui va vers B; à cause de la premiere réduction y-{a=u, on divisera AB par le milieu en C, & y

,

ayant mené par C la droite C F parallele à AH, le point c-sera l'origine des inconnues u qui va vers A & vers B,& x qui va vers F:& à cause de la seconde réduction (-x=h, ayant fait CF=o,

,

alors le point F sera l'origine des inconnues z qui va vers C,& u qui demeure paralleled AB, & le sommet du diametre BC sur lequel l'on décrira ( Art. 10. no. 11, ou Art. 11. no. 11, selon

que l'angle CAH OU ACF est droit ou oblique) la parabole AFB, par le moyen de l'équation réduire uú

uu = bz, qui satisfera au Problếme.

D E M O N S T R A TI O N. AYANT

ANT mené d'un point quelconque M pris sur la parabole , la ligne MI parallele à BC, l'on aura par la proprieté de la parabole uu=bz,ou yy-- ay + cao, en remettant pour u , pour 2, & pour b, leurs valeurs y-1a, -- *, &, & pour bc sa valeur , aa, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

X

il

C

m

ز

& PB,

Xx =

=

PROBLÊME INDÉTERMINÉ.
F16. 84.2. UN E ligne AB étant donnée de grandeur ex de position. Il

faut trouver un point M hors de cette ligne ; en sorte qu'ayant
mené la ligne MP parallele à une ligne donnée A G, & qui
rencontre Å B, en P; le reftangle A P R P B soit égal au re-
Etangle de PM par une ligne donnée b.
Ayant supposé le Problême résolu, soit divisée AB

par
le milieu en C,& nommé la donnée AC, ou CB, a; & les
indéterminées CP,*; PM, Y; A P sera a + x,
a - *; & l'on aura par les qualitez du Problême aa –

by , ou xx = aa by, qui est une équation à la
parabole où les indéterminées x & y n'ont point leur ori-
gine au sommet du diametre sur lequel il faut la décrire.
Pour réduire cette équation , je prens bc.=aa, & l'é-

=.
quation deviendra xx =bc — by, en mettant bc pour aa.

= -
Et faisant cy=u,& mettant u en la place decy,
l'on aura xx=bu, que l'on construira en cette sorte.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers
B & vers A, & y qui va vers D parallele à AG, à cause
de la réductioncy=-u, l'on prendra CD=1, & le
point D sera l'origine des inconnues u qui revient vers C,
& x qui est parallele à AB,& le sommet du diametre DC
sur lequel on décrira ( Art. 1o. no. II, ou Art. 11. no. 11.)

)
la parabole ADMB, par le moyen de l'équation réduite
xx=bu, qui satisfera au Problême.

DEMONSTRATION,
Il est clair 10. que la parabole , pafle par les points A & &
B: car si dans l'équation à réduire xx=da -
y =0, le terme

terme — by deviendra nul, & l'on aura xx
donc x=+=CA, ou CB.
2°. D'un point quelconque M pris sur la parabole ayant
mené M P & MQ paralleles à DC & à CB , l'on aura
( Art. 10. no. 8.) DQ. DC:: QM'. CB', ou en termes

XX

-by, on fait