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Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené du point M fur GA la perpendiculaire MP, & nommé la donnée AD, a; & les indéterminées DP,x; PM, y; à cause

& à

du triangle rectangle DPM, MD sera √ xx + yy ; caufe des triangles femblables PDM, ADB; DP (x). aVxx+yy donc par

DM (√xx+yy) :: DA(a). DB=

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(MD × DB)=aa

(DA); donc xx — ax +gy = 0, qui eft une équa tion au cercle où les inconnues x & y n'ont point leur commencement au centre, parceque xx a un fecond terme — ax, qu'il faut par confequent faire évanouir; c'eft pourquoi en faifant x — azon réduira l'équation à celle-ci zz — — aa + yy = α, ou yy = 0, ou yy = — aa

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༢.;

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z, où les indéterminées y & z, ont leur origine au cen༢༢ tre que l'on trouvera en faifant DC --= 1⁄2 AD = 1⁄2 a ‚ à caufe de la réduction x- ・a = a=; & parceque le terme connu de l'équation eftaa dont la racine eft a au demi diametre du cercle, on décrira du centre C par D le cercle DMG qui fatisfera au Problême.

DEMONSTRATION.

AYANT abbaiffé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle, DP x PGPM2, ce qui eft en termes algebriques ( DP étant, x; & DG, a ;) ax — xx=yy, ou xx — ax+yyo, qui est l'équa tion que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

CONSTRUCTION

Des Equations ou des lieux à la Parabole.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

XIX. DEUX lignes paralleles AH, BG dont les extrè-FIG. 82. mitez A & B font fixes étant données de pofition; il faut trou. ver entre les deux un point M, par où & par le point A, ayant mené la droite AMD & MP parallele à AB; BD foit à MP; comme une ligne donnée m eft à AB.

.

Ayant supposé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, a; & les indéterminées AP, x; PM,y; les triangles semblables MPA, ABD donneront M P (y). PA(x) :: AB(a). B D = 4, & par les qualitéz du Problême.y :: m. a; donc yy, qui est une équation à la parabole, où les inconnues x &y ont leur origine au fommet du diametre qui eft la ligne AH, fuivant ce qui eft démontré dans la quatrième & cinquiême Section.

m

ax

m

Si l'on fait m. a :: a. —p; p fera le parametre du diametre AH, & l'équation fera px = ·yy › en mettant pour fa valeur p, & l'on décrira par le moyen de cette équation la parabole A M fur le diametre AH dont le parametre eft p, comme il eft enfeigné (Art. 10. n°. 11.), fi l'angle BAP eft droit,, ou Art. 11. no. 11, s'il eft oblique. Et je dis que tous les points de cette parabole fatisfont au Problême.

DEMONSTRATION.

AYANT mené par un point quelconque M, pris fur la parabole, la ligne MP parallele à BA, l'on aura par la propriété de la parabole le rectangle de l'abfciffe A P× PPM', ce qui eft en termes algebriques px=yy, ou "ax

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yy, en remettant pour p fa valeur tion que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

m

qui eft l'équa

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

Le

FIG. 82, 1. AYANT fuppofé les mêmes chofes que dans le Problème 83. précédent, & ayant prolongé PM en E. On demande que point M foit tel que BD foit à ME; comme une ligne donnée mà BA.

دو.

&

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En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans le Problême précédent, ME fera a ---les qualitez du Problême donneront. a-yy:: m. a; donc 44x: =ma — my, ou anxay-yy, ou yy - ay + dax =0,. qui est une équation à la parabole, parcequ'il n'y a qu'un quarré inconnu yy, & que les deux inconnues x &y ne fe multiplient point: mais parcequ'elle contient trois termes, le fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole, n'est point en A; quoique le point A foiť l'origine des inconnues x & y. Il faut donc réduire cette équation, afin de trouver par le moyen des réductions le fommet du diametre fur lequel on doit décrire la parabole qui doit réfoudre le Problême. En faifant pour ce fujet yau, afin de faire évanouir le fecond terme ay, l'on réduit l'équation à celle-ci uuaa+x=0, uu= 1 aa aaax: car le quarré uu doit être feul dans un des membres de l'équation, & comme il y a encore trois termes dans cette équation, l'origine des inconnues « & x, n'eft point encore au fommet du diametre fur lequel on doit décrire la parabole; il faut donc encore que les deux termes aa fe réduisent à un feul. Pour ce fujet on cherchera 10. une 3e proportionnelle à m&àa, qui étant nommée b; l'équation réduite fe changera en celle-ci au= -bx, puifque b. 2°. Ayant pris be aa, l'on aura uu = = bc -bx, en mettant pour aa fa valeur be; & faifant enfin c-x=z, l'on aura uu —b2, en mettant pour c―x fa valeur x fa valeur z, qui eft une équation

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ax

m

aa

=

4

=

ou

où les inconnues u & ont leur origine au fommet du diametre fur lequel il faut décrire la parabole, & dont le parametre eft b.

m

Les réductions & les changemens que l'on vient de faire fourniffent la conftruction qui fuit. Il est clair que la parabole doit paffer par les points A & B: car fi dans l'équation à réduire yy — ay + = 0; les teray+aaro, l'on fait y mes où y fe rencontre deviendront nuls, & l'on aura ax =0, où x=0, qui montre qu'elle paffe par le point A, puifque & y s'y anéantiffent; & fi au lieu de y fait xo, le terme a fe détruira, & l'on aura yy — ay =o, d'où l'on tire y=a, ce qui montre que la parabole paffe auffi par le point B; puifqu'en ce cas le point P tombant en A à cause de xo, le point M tombe en B à cause de y

= d.

m

= 0, on

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ayant

Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers FIG. 83. H, & y qui va vers B; à cause de la premiere réduction & au, on divisera AB par le milieu en C, y — // a= mené par C la droite CF parallele à AH, le point Cfera l'origine des inconnues a qui va vers A & vers B,& x qui va vers F: & à caufe de la feconde réduction c-x=Z, ✖=༢, ayant fait CF=c, alors le point F fera l'origine des inconnues qui va vers C, & u qui demeure parallele à AB, & le fommet du diametre BC fur lequel l'on décrira (Art. 10. n°. 11, ou Art. 11. n°. 11, felon que l'angle CAH ou ACF eft droit ou oblique) la parabole AFB, par le moyen de l'équation réduite uu = bz, qui fatisfera au Problême.

DE'MONSTRATION.

la

AYANT mené d'un point quelconque M pris fur la
parabole, la ligne MI ̊ parallele à BC, l'on aura par
proprieté de la parabole uu―bz, ou yy— ay + “**=0, en.
remettant pour
pour «, pour z, & pour 6, leurs valeurs y-a,
c-x, &, & pour bc fa valeur aa, qui eft l'équation
que l'on a conftruite. C. Q. F. D.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 84.2. UNE ligne AB étant donnée de grandeur & de pofition. Il faut trouver un point M hors de cette ligne, en forte qu'ayant mené la ligne MP parallele à une ligne donnée A G, & qui rencontre AB, en P; le rectangle AP x P B foit égal au reEtangle de PM par une ligne donnée b.

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Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit divifée AB par le milieu en C, & nommé la donnée AC, ou CB, a; & les indéterminées CP, x; PM, y; A P fera a +x, & PB, a-x; & l'on aura par les qualitez du Problême aa xx = by, ou xx aa - by, qui eft une équation à la parabole où les indéterminées x & y n'ont point leur origine au fommet du diametre fur lequel il faut la décrire. Pour réduire cette équation, je prens bc. aa, & l'équation deviendra xx = bc — by, en mettant be pour aa. Et faisant c-yu, & mettant u en la place de c-y, l'on aura xx= bu, que l'on conftruira en cette forte.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers B & vers A, & y qui va vers D parallele à AG, à cause de la réduction c-yu, yu, l'on prendra CDc, & le point D fera l'origine des inconnues a qui revient vers C, &x qui eft parallele à AB, & le fommet du diametre DC fur lequel on décrira ( Art. 1o. no. 11, ou Art. 11. n°. 11.) la parabole ADMB, par le moyen de l'équation réduite bu, qui fatisfera au Problême.

DEMONSTRATION.

IL eft clair 10. que la parabole paffe par les points A & B: car fi dans l'équation à réduire xxaaby, on fait yo, le terme by deviendra nul, & l'on aura xx= donc x= +a= CA, ou CB.

aa

2o. D'un point quelconque M pris fur la parabole ayant mené M P & MQ paralleles à DC & à CB, l'on aura Art. 10. n°. 8. ) DQ. DC :: QM'. CB', ou en termes

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