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Or il est évident que pour déterminer la valeur de (PM) dans toutes les pofitions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ; c'est pourquoi ce cercle eft lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer: mais on a jugé à propos de faire fur l'équation au cercle, qui eft la plus fimple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire

par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLAIRE I.

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir affigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prifes fur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correfpondantes de y=PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & affigner à y des valeurs CcQ prifes fur CG, qui auroient fervi à déterminer de la même maniere les valeurs correfpondantes de x=QM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaa-yy.

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COROLLAIRE II.

11. IL eft clair que fi une des inconnues x de cette équayyaa-xx devenoit une conftante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il fuit en general que toutes les équations déterminées du fecond degré peuvent être conftruites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

12.

REMARQUES.

ON remarquera 1°. Que dans toutes les pofitions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les pofitions du point Q, la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

2o. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) fur CH, & l'autre (Q) fur CG, qui peuvent fervir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle fe peut appliquer à toutes les autres courbes, lorfqu'il s'agit de les décrire par ¿quations.

le

moyen

DEFINITION S.

de leurs

13. DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) eft fixe, & dont les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, font nommées axes ou diametres de ces courbes. 14. Les mêmes parties (CP) font nommées abciffes ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu fuppofant l'autre inconnue comme donnée à chaque pofition du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point Pchange de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM eft égale & parallele à CP, & CQ à PM, & que le point pris fur CG peut fervir à trouver le point M auffi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; CQ pour l'abciffe, ou coupée; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée ; c'eft pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordon.

nées.

pas feule17. Les équations indéterminées ne servent ment à construire les Problêmes indéterminez, ou à décrire les courbes aufquelles elles se rapportent, & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur

Cij

moyen construire tous les Problêmes déterminez: car il n'y a point de Problême déterminé, quelque fimple qu'il puiffe être, où pour le réfoudre, on ne puiffe employer deux lettres inconnues, & trouver par confequent deux équations indéterminées, qui étant conftruites enfemble, felon les regles qu'on donnera dans la fuite, les lignes droites ou courbes, aufquelles elles fe rapportent, détermineroient par leur interfection les points qui fatisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit tiré ces équations. On pourroit auffi tirer de ces fortes de constructions des démonftrations très-fimples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problêmes ne. feroient pas tous conftruits avec les lignes les plus fimples qu'ils le puiffent être, quoique d'ailleurs la conftruction en fût. très-fimple. Or felon Mr Defcartes, & felon la raifon même, c'est un vice en Geometrie d'employer dans la conftruction d'un Problême des lignes plus compofées que celles qu'exige fa nature.

On trouvera dans l'art. 4. n°. 17, 18, 19, 20 & 21, des regles pour faire connoître quand un Problême déterminé peut être construit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour diftinguer les courbes les plus fimples d'avec les plus compofées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître que la courbe dont elle exprime la nature eft plus ou moins fimple. Et le degré d'une équation est déterminé par la plus haute puiffance de celle des deux inconnues, qui eft la plus élevée, lorfqu'elles ne le font pas également, ou par le produit des deux inconnues, quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimensions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainfi lorfque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, foit qu'elles foient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimenfions; comme ax=yy, ou ax-xx=yy, ou xy; ab; l'équation eft du fecond degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du premier genre.

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Lorfque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimensions, comme x3+axy=a', ou x'—axy=y3, ou xxy = ayy + a3, l'équation eft du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, eft du fecond genre, & ainfi de fuite. Or on convient que les courbes du mier genre font plus fimples que celles du fecond; & celles-ci plus que celles du troifiême, &c. C'eft pourquoi ce feroit un vice de conftruire un Problême par le moyen d'une courbe du fecond genre, lorfqu'il peut être construit par le moyen d'une courbe du premier. Il en eft ainsi des autres genres.

REMARQUE.

19. LORSQU'ON décrit une courbe par le moyen de fon équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change fa valeur pour déterminer la valeur correfpondante de l'au tre, on doit donc auffi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée; & parceque les équations déterminées, font d'autant plus faciles à construire, que leurs inconnues ont moins de dimenfions; il eft à propos dans les équations indéterminées, où les inconnues, ne font pas également élevées, de prendre pour conftante, celle qui à plus de dimensions; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puifque trouver un point d'une courbe, c'eft réfoudre un Problême déterminé, lorfque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, n'aura qu'une dimenfion, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes fimples déterminez. Lorfque cette inconnue aura deux dimenfions, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes plans; Jorfqu'elle en aura trois ou quatre, la defcription de la courbe dépendra de la conftruction des Problêmes folides; & lorfqu'elle en aura un plus grand nombre, la defcription de la courbe dépendra de la construction des Problêmes lineaires.

On remarquera auffi que toutes les operations que l'on fait en Geometrie, dépendent de la Geometrie plane, c'est-à-dire de la construction des équations déterminées du premier & du fecond degré, c'est pourquoi lorsque l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante dans une équation indéterminée, aura plus de deux dimensions, on ne pourra conftruire cette équation par elle-même, il la faudra changer en deux autres équations, où l'une des inconnues n'excede point deux dimenfions; & par le moyen de ces deux équations, on décrira les deux courbes dont elles exprimeront la nature, & leur interfection fera un des points de la courbe dont l'équation proposée exprime la nature.

En déterminant le genre des courbes, comme on a dit (no. 17.) on trouvera que le premier genre n'en renferme que quatre, qui font le cercle, la parabole, l'ellipfe & l'hyperbole. De forte que toutes les équations du fecond degré appartiennent à quelqu'une de ces quatre courbes. Mais comme le cercle, à cause de fa description qui est très-fimple, paffe pour la plus fimple des quatre, ce feroit encore un vice en Geometrie, d'employer une des trois autres, lorsque le cercle peut y être employé feul.

C'est parceque l'on conftruit la plus grande partie des Problêmes de Geometrie par le moyen de ces quatre courbes, que je me fuis déterminé à donner dans cet Ouvrage les élémens de la parabole, de l'ellipfe & de l'hyberbole, les proprietez du cercle étant affez connues d'ailleurs, afin de n'y fuppofer que les fimples élemens de Geometrie.

Les Geometres diftinguent deux fortes de courbes; les courbes Geometriques, & les courbes Méchaniques.

20. Les courbes geometriques, font celles dont les axes ou les diametres conjuguez, & les coordonnées font des lignes droites, qui peuvent toujours former un parallelogramme, que nous avons nommé ( no. 16.) le parallelogramme des coordonnées, & qui ont des équations reglees qui expriment le raport que ces coordonnées ont entr'elles; & dont on peut trouver par le moyen de ces

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