Pour la réduire & pour la conftruire, je fáis y + o, & max -- น Pour ce sujet afin d'avoir xx délivré de toute quan tité donnée, je multiplie toute l'équation par 4nn, & je la divife par mm, ce qui la change en celle-ci 4nnua mm d'où l'on tire cette Con Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers & y qui va vers B ; à cause de la feconde réduc H, ana tion x+, foit prolongée PA en K, en forte que 'AK= ana m m ; le point K fera l'origine de z qui va toujours vers H, & de y qui, ayant mené KO parallele à AB; va vers : à cause de la premiere réduction = "; MAK mx y + 212 foit prife KO- =a, en mettant pour AK fa valeur & du point O par A ayant mené OẠC 2nd qui rencontrera MP prolongée en C, MC sera =y+ "APC, l'on aura AK (2). KO (a) :: AP (x), PC = eft le centre de l'Hyperbole, & l'origine des inconnues z qui va vers G (car le point O est dans le prolongement de G B à cause de KO AB) & y qui demeure toujours parallele à AB: Mais les coordonnées de l'Hyperbole font préfentement OC, & CM en fuppofant l'Hyperbole décrite, c'eft pourquoi l'expreffion de OC se doit trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de CM (u): au contraire celle de KP (2) ne doit plus s'y rencontrer; il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de KP(z) & de OC, afin de faire évanouir ༢. de l'équation réduite, & d'introduire en fa place celle de OC. m Pour ce fujet, ayant nommé les données AK (Const.) 2na; 'AO, d; & l'indéterminée OC, f; l'on aura à caufe des triangles femblables KAO, PAC, AK. AO :: KP. OC, réduite en la place de zz fa valeur que l'on vient de trou =ff— dd, & l'on décrira (Art. 14. n°. 30.) par le moyen de cette équation, l'Hyperbole AM qui réfoudra le Problême. DE'MONSTRATION. la AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole la ligne MPC parallele à BA, l'on aura par propriété de l'Hyperb. AK. KO' :: OC1—OA3. CM3, Ꮓ ou dd. aa :: ss-dd. uu, d'où l'on tire mxy-max ou yy + n = o, & remettant pour, pour un & pour leurs valeurs tirées des équations précedentes, & réduifant. C. Q. F.D. FIG. 92. 2. 1 PROBLEME INDÉTERMINÉ. 2. IL faut trouver dans un triangle donné ABC un point M, par où ayant mené une ligne DM E parallele à un des côtez AC, & du point A par le mème point M, la ligne A MF qui rencontre BC en F; BF foit à BD dans la raifon donnée de mà n. & Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit menée MG parallele à BC, & nommé les données AB, a ; BC, b; les inconnues AG, x; GM,y; GB sera, a x; & les triangles femblables AGM & ABF, CBA & MGD, donneront AG (x). GM(y) :: AB (a). BF = 2, & CB (b). BA(a) :: MG (y). GD=2; donc BD=a x+, & par les qualitez du Problême, l'on a m. n:: (BF). a — x x+4 (BD), d'où l'on tire xx — axy ➡ax+nay =0, qui est une équation à l'Hyperbole, & qui montre que la même Hyperbole doit paffer par les points A & B: car fi l'on fait x=o, l'on aura aussi y= 0; d'où il fuit que les points G & M fe confondent avec le point A, qui par conféquent eft un des points de l'Hyperbole; & fi l'on fait y=o, l'on aura x = a qui fait connoître que le point & tombant en B, le point My tombe auffi ; & par conféquent le point B eft un des points de l'Hyperbole. Pour réduire cette équation, on fera x11/14 - 11/a = 2, & l'on en tirera 4bbyy → 4nbh az, 2by- +bb, & faifant encore y + b l'on aura l'équation toute réduite 4bb uu+ 4mnab3 — 4nnb1 qui avec les réductions donnent cette con mmaa ftruction. Ayant mené AK parallele à BC, A étant l'origine des inconnues x qui va vers B & y qui va vers K; à cause de la feconde réduction y + b = b 2nbh ma น, foit prise AK 2nbb; K fera l'origine des inconnues u qui va fur ma AK de côté & d'autre de K, & x parallele à AB. Et ayant divisé A B par le milieu en I, & mené IC; à cause de la a=2, ス foit menée KO premiere réduction x—— parallele à AB qui rencontrera IC prolongée, s'il est néceffaire, en 0; le point o fera l'origine des inconnues qui va de part & d'autre du point O parallele à AB, & u, qui AB,&u, va de part & d'autre du point O parallele à BC, ou à AK: car ayant mené AL parallele à 10 qui rencontre KO en Z; LO fera égale à AÌ—¦ a ; & à cause des triangles fem = blables CBI, AKL, l'on a CB (b). BI (~—-a) (g) KL= & partant KO = 2b 2b +2a. :: Mais parceque ayant mené MP parallele à AB, & prolongé G Men S, les coordonnées de l'Hyperbole qui doit être le lieu où fe doivent trouver tous les points M, font préfentement OP & PM; c'eft pourquoi il faut introduire dans l'équation réduite l'expreffion de OP que je nomme, & faire évanouir celle de S M qui eft u. Pour y parvenir, je nomme la donnée CI, d; & à cause des paralleles BI,PM & OS, l'on a CB. IC:: MS. OP oub.d:: f; & partant = & uu; mettant donc dans l'é d = dd ՆԵՐ quation réduite en la place de uz fa valeur. que l'on vient dd fervira à déterminer les demi diametres conjuguez OR, &OT fur OP & OK, & l'on décrira (Art. 14. no. 30. ) l'Hyperbole AMB qui réfoudra le Problême. DE'MONSTRATION. ELLE eft femblable à celle des Propofitions préce dentes. CONSTRUCTION Des Equations, ou des lieux à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 93. XXII. DEUX lignes paralleles AH, BG, dont les extrèmitez A&B font fixes, étant données de pofition fur un Plan; foit une autre ligne CD menée librement perpendiculaire aux paralleles. Il faut trouver fur CD le point M5 en forte que ayant mené des points A & B les droites AM, & BM, l'angle AMC foit égal à l'angle BMD dans toutes les pofitions de CD parallele à elle-mème. Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit menée BE parallele à CD, & nommé les données BE, ou DC, a; AE, b; & les indéterminées BD, ou EC, x; DM, y; AC sera b+ x; & CM, a-y. Puifque par la conftru ction les angles ACM, BDM font droits, & par l'Hypothese, l'angle AMC égal à l'angle BMD, les triangles ACM, BDM feront femblables; c'eft pourquoi l'on aura AC.CM :: BD. DM, ou en termes algébriques, b+x. y:: x.y; donc by + xy=ax-xy, ou by + xy={ ax (en divifant par 2. pour délivrer le produit des inconnues de toute quantité connue) qui eft une équation à I'Hyperbole par raport à fes afymptotes, puifque aucune |