S E C ΤΙ Ο Ν Ι Χ.
Où l'on donne la Méthode de construire les Problèmes

Solides déterminez , par le moyen de deux équa-
tions locales, ou indéterminées , lorsque l'une des
deux se rapporte au cercle, ou y peut être ramenée.

M
M É T H O D E.

I
XXIII. Es inconnues de ces deux équations étant les

L.

mêmes , elles auront leur origine en un même point , & ayant construit ces deux équations l’une après l'autre

par

les regles de la Se&tion precedente , les points
où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont,
résoudront les Problêmes, comme on va voir par les
exemples qui suivent.

Ε Χ Ε Μ Ρ Ι Ε.
E x 1 I.

Problême Solide.
1. Un demi cercle A MB dont le diametre eft AB, & le Fig. 96.
centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant don-
nez de position , il faut trouver sur la circonférence le point M,
par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencon.
tre GH en E, & par le même point M, la droite MH paral-
lele à AB, qui rencontre la même GH en H ; HE soit égale
au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne
donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaillera du
point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé
les données CB , ou CM, ou ( Hyp.) HE,'a; BG, b;

;
& les indéterminées CP, X; PM,y; PG, ou M H sera
a stabx, & les triangles semblables CPM , MHE,

donneront x, (CP).y ( PM):: a + b - *( MH).. ( HE), d'où l'on tire ax = ay +

by

xy , qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM , l'on aura xx + yy aa qui est une équation au cercle.

Si l'on fait présentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation ,

2 ax+ aaxx + 2ax - 26 + 2ab + 2aab

20b=0

aabb Et si l'on fait évanouir x, ( car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l’une après l'autre , pour voir G l'équation qui résulte d'une maniere n'est pas plus simple que celle qui résulte de l'autre ) l'on aura.. 9: * + 2 ay' + aayy — 2a'y — a*=0

at

+66

4

+ 2ab

ni

b6 qui paroit plus simple que la précédente. Mais comme ces deux équations sont du quatrième degré, & qu'on ne peut,

par
la division, ni

par la transformation, les . réduire à une équation du second; il fuit que le Problême est solide , & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par leur moyen en cette forte.

Il est clair que l'équation xx + yy = aa , appartient au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire. l'équation à l’Hyperbole ax = ay + hy — xy ;

fai. sant donc pour la réduire a + b -*=, l'on aura x =

x= a+b-.2; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle, deviendra aa + ab

az=, ou aa + ab =

=y2+

az; & faisant encore y + a=u, l'on aura l'équation réduite aa + ab =uz, qui fournit avec les réductions cette construction

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers &, & y parallele à GH; à cause de la premiere réduction atb-X le point G sera ( Art. 16.no.4.) l'origine de z.qui revient vers C. A cause de la seconde réduction

ܪܟ.

༢.,

y+a5u, on prolongera HG, en 0, & ayant fait GO =a=CB ; le point o sera l'origine des inconnues z qui va vers I parallele à GC, & u qui va vers H, & le sommet de l'angle des asymptotes, qui seront OL & O H. Et di cause de l'équation réduite aa + ab=uk, dont la quantité connue aa + ab=a+bxa=CG CB=(Const. ) CG GO, l'on décrira ( Art. 14. ) par le centre C du cer

~ cle A MB , l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

x

D E'MONSTRATION.

AYANT

ANT prolongé M P jusqu'à l'afymptote O L en K, & mené ci parallele à PK, par la propriété des asymptotes ( Art. 14. no. 1. )OL LC=OH HM; donc CPR PK= PM * MH; donc CP. PM :: MH.PK. x

X
Mais à cause des triangles semblables CPM, MHE,CP.
PM:: MH. HE; donc MH.PK:: MH. HE; & par-
tant PK(=GO=( Const. ) CB) = HE. C. Q. F. D.

.

Ε Χ Ε Μ Ρ Ε ΙΙ.

Problême Solide. 2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre F16.972 eft A, en la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu, les cordes BD, DF, FC seront égales; celle du milieu DF sera parallele à BC; le rayon AĚ, perpendiculaire à BC sera aussi perpendiculaire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie A H comprise entre le centre A , & la cordé BC, sera donnée de grandeur, & de position: mais AG & GD ou GF seront indéterminées. Si l'on mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; H I sera = HK, & les triangles BDI, CFK seront égaux , semblables, & isosceles ; puisque par l'Hypothese l'angle IDB= IDF = AIK = BID. Þar

=

= Bb

.

le

la même raison l'angle KFC = KFD = IDF = AKI =CKF; & qu'outre cela BD=CF.

Nommant donc les données AE, OU AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH,C; & les inconnues AG, *; GD ou GF,y;DF, ou DB, ou Bi sera , 29; & partant HI,

A cause des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura x ( AG) y (GD)::(( AH).6- 2y ( HI), d'où l'on cire box - 2xy=cy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes ; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait présentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du second; d'où l'on doit conclure que le Problême est solide; ainsi on le peut construire par moyen

des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve construite , puisqu'elle se rapporte au cercle du Problême BDC. C'est pourquoi il n'y qu'à construire l'équation à l'Hyperbole , qui étant réduite donne avec ses réductions cette construction.

Soit prolongée AH en L, en sorte que AL={AH, & menée par I une parallele à BC, sur laquelle ayant

à pris LO = HB , l'on menera par o la droite OM parallele à AĞ, qui rencontrera H B en X. L'Hyperbole A D décrite par le centre A entre les asymptotes O L, OM , coupera l'arc BDC au point cherché Ò; de force que

si l'on mene DF parallele à BC, les points D & F di. viseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC.

D E'M ON S T RATION. YANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc B DC, la droite D N parallele à l'afymptote OM, qui rencontrera HB en V , & LO en N, & par centre A, le diametre g Af parallele à l'afymptote on,

le

S

ز

qui rencontrera O M en P, & N Den s. L'on aura à cause
des asymptotes OL, OD; DN NO=AL * LO; donc
SP SD=SAR AL; donc DS.SA :: AL. SP: mais
les triangles semblables DSA; AHI donnent DS.SA::
AH. HI; donc AL.SP :: AH. H 1. Or ( const.)

i
AH=2AL ; donc HI=2SP; & partant HV ,OUGD

=
= 2SP +IV , & DF=4SP + 21V: mais HX(
2+I,

=
HV +SP)=3SP +IV ; c'est pourquoi B.X=( const.)

)
HX=3SP + IV ; & par conséquent B X+X1, ou
BI= 4SP + 21V ; donc BI=DF=KC. Mais les
triangles semblables A KI, A F D donnent AK. KI::
AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB,
BI; d'où il suit que l'angle B AD=CAF= DAF,
C. Q. F. D.

Si la corde BC passoit par le centre A, & étoit con-
fondue avec le diametre g Af, l'arc BC seroit un demi
cercle , & la perpendiculaire AH=, seroit nulle ou
=0; c'est pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hy-
=O
perbole, les termes où c se rencontre, l'on auroit y =

- į Ag; d'où il suit qu'ayant divisé Ag par le milieu
en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le
demi cercle en T, & Tz parallele å gf, les arcs g7 , TZ,
& zf seront égaux. Ce qui est évident.

EX EMPLE II 1.

Ι Ι.

Problême Solide. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F16.98 3. lignes données KL, MN.

Ayant supposé le Problème résolu , & nommé les données KL, a; MN,6; & les inconnues

l'on aura. suivant les termes de la question a .x :: x.y, & x. .y::y. b, d'où l'on cire ay=xx, & bx=yy, qui sont deux équations à la Parabole ; & faisant évanouir l'inconnuey, l'on aura x = aab, qui est une équation du troisième degré, , & montre que le Problême est Solide.

& yi