Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorsque l'une des deux se rapporte au cercle, ou y peut être ramenée.

XXIII.

L

MÉTHODE.

Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant construit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes ausquelles elles appartiennent se couperont, résoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui suivent.

1. U N demi cercle AMB dont le diametre eft AB, & le F1G. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de position, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le même point M, la droite MHparallele à AB, qui rencontre la mème GH en H ; HE foit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne

donnée.

Ayant supposé le Problême résolu, on abbaissera du point M sur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, ou CM, ou (Hyp.) HE, a; BG, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; PG, ou MH fera a+b-x, & les triangles semblables CPM, MHE,

1

donneront x, (CP) . y ( PM ) :: a + b — x (MH). (HE), d'où l'on tire ax = ay + by - xy qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM, l'on aura xx + yy aa qui est une équation au cercle.

=

Si l'on fait présentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation,

x2-2ax + aaxx + 2ax - a

Et fi l'on fait évanouir x, ( car il est à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre , pour voir si l'équation qui résulte d'une maniere n'est pas plus fim

ple que celle qui résulte de l'autre ) l'on aura.

+2 ay

3

+aayy

+ 2ab

2a'y-a=

qui paroit plus fimple que la précédente. Mais comme ces deux équations sont du quatrième degré, & qu'on ne peut, ni par la division, ni par la transformation, les réduire à une équation du second; il fuit que le Problême est solide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le construira par leur moyen en cette forte.

Il est clair que l'équation xx + yy = aa, appartient au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax = ay+by - xy; faifant donc pour la réduire a + b x = z, l'on aura x = a+b-z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab az = yz, ou aa + ab = yz + az; & faisant encore y +a=u, l'on aura l'équation réduite aa + ab = uz, qui fournit avec les réductions cette conftruction.

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à cause de la premiere réduction — x = z, le point G sera (Art. 16. no.4.) l'origine dez qui revient vers C. A cause de la seconde réduction

a+b

y+au, on prolongera HG, en 0, & ayant fait GO =a=CB; le point o sera l'origine des inconnues z qui va vers Z parallele à GC, & u qui va vers H, & le fommet de l'angle des asymptotes, qui feront OL & OH. Et à cause de l'équation réduite aa + ab = uz, dont la quantité connue aa + ab = a + b x a =CG x CB=(Const.) CG × GO, l'on décrira (Art. 14.) par le centre C du cercle AMB, l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

DE'MONSTRATΙΟΝ.

AYANT prolongé M P jusqu'à l'asymptote OL en K, & mené CL parallele à PK, par la propriété des asymptotes (Art. 14. 10. 1.) OL × LC = 0H × HM; donc CP × PK = PM × MH ; donc CP. PM :: MH.PK. Mais à cause des triangles semblables CPM, MHE, CP. PM :: MH. HE; donc MH.PK :: MH. HE; & partant PK (=G0O= (Conft.) CB) = HE. C. Q. F. D.

EXEMPLE II.

Problême Solide.

2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre FIG. 97. eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu, les cordes BD, DF, FC feront égales ; ; celle du milieu DF sera parallele à BC; le rayon AE, perpendiculaire à BC sera aussi perpendiculaire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, sera donnée de grandeur, & de position: mais AG & GD ou GF seront indéterminées. Si l'en mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; HI sera = HK, & les triangles BDI, CFK seront égaux, semblables, & isosceles; puisque par l'Hypothese l'angle IDB = IDF = AIK = BID. Par

Bb

la même raison l'angle KFC =KFD = IDF = AKI =CKF; & qu'outre cela BD=CF.

Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x ; GD ou GF, y; DF, ou DB, ou BI fera, 2y; & partant HI, b-zy.

A cause des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura x (AG).y (GD) :: c(AH). b-2y (HI), doù l'on tire bx 2 xy=cy, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait présentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du second; d'où l'on doit conclure que le Problême est solide; ainsi on le peut construire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve construite, puisqu'elle se rapporte au cercle du Problême BDC. C'est pourquoi il n'y qu'à construire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec ses réductions cette construction.

Soit prolongée AH en L, en forte que AL=AH, & menée par Z une parallele à BC, sur laquelle ayant pris LO = HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AG, qui rencontrera H B en X. L'Hyperbole A D décrite par le centre A entre les asymptotes OZ, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que si l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviseront l'arc BDC en trois parties égales BD, DF, FC. DEMONSTRATION.

AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'asymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'asymptote OL,

qui rencontrera OM en P, & ND en S. L'on aura à caufe des asymptotes OL, OD; DN × NO =AL × LO; donc SP × SD=SA × AL ; donc DS . SA :: AL. SP : mais les triangles semblables DSA ; AHI donnent DS. SA:: AH . H I; donc AL. SP :: AH. H I. Or (conft.) AH=2AL; donc HI=2SP; & partant HV, ou GD = 2SP + IV, & DF = 4SP + 2IV: mais HX(=== HV+SP)=3SP+IV; c'est pourquoi BX=(conft.) HX=3SP+IV; & par conséquent B X + XI, ou BI = 4SP + 2IV; donc BI=DF=KC. Mais les triangles semblables A KI, A F D donnent AK. KI:: AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB. BI; d'où il suit que l'angle B AD=CAF= DAF, C. Q. F. D.

Si la corde BC passoit par le centre A, & étoit confondue avec le diametre gAf, l'arc BC seroit un demi cercle, & la perpendiculaire AH = c, feroit nulle ou =0; c'est pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hy3 perbole, les termes où e se rencontre, l'on auroit y = 6 = + Ag; d'où il suit qu'ayant divisé Ag par le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & Tz parallele à gf, les arcs gT, TZ, & zf feront égaux. Ce qui est évident.

EXEMPLE III.

Problême Solide.

3. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F16.98. lignes données KL, MN.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé les données KL, a; MN, b; & les inconnues x & y; l'on aura suivant les termes de la question a.x :: x.y, & x. y :: y. b, d'où l'on tire ay = xx, & bx=yy, qui sont deux équations à la Parabole; & faisant évanouir l'inconnuey, l'on aura x = aab, qui est une équation du troisiême degré, & montre que le Problême est Solide.