Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées par addition ou soustraction, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation a la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peuť toujours être délivré de toute quantité connue; il suit qu'on peut construire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes, & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équations par addition, qui est ay + bx = xx + yy.

&

Et parceque les deux premieres équations ay = xx, bx=yy sont également simples, on peut indifféremment se servir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay= xx. Pour la construire, soit A l'origine des inconnues x qui va vers H, & y, qui va vers G perpendiculaire à AG; le même point A sera aussi le sommet de l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puisque l'équation ay = xx, n'a pas besoin de réduction; il n'y a donc qu'à décrire (Art. 10. no. 11. ) sur l'axe AG une Parabole dont le parametre soit la ligne donnée KL=a.

Pour construire présentement l'équation au cercle ay + bx = xx + yy; soit fait pour la réduire y - a=u, & x - b = z; & l'on aura l'équation réduite aa+

bb - un=zz, qui avec les réductions donne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & * ; à cause de la premiere réduction y au, l'on prendra AC=a=KL, & ayant mené Co parallele à AD; à cause de la seconde réduction x - 6=z, on prendra sur CO, CE=6=MN, & le point E sera l'origine des inconnues z, qui va vers O, & u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais ✔aa+bb, qui est la racine du terme connu de l'équation réduite, est le demi diametre du même cercle; c'est pourquoi si du centre E par A on décrit un cercle,

:

:

il coupera la Parabole en un point 2, par où ayant mené QP parallele AH; PQ & PA feront les deux moyennes proportionnelles qu'il faloit trouver.

DEMONSTRAΤΙΟΝ.

I L est clair que le cercle coupe AG & AH en I & en
D, de maniere que AI = 2AC = KL = a, & AD =
2CE = MN = b. Ainsi PI = PA — AI=y — a, &
PF=AD - PQ = b – x. Or par la propriété du
cercle AP x AP x PI = PQ x PF, ou en termes algebriques,
yy -ay = bx - xx, ouyy - bx=ay - xx: : mais (Art.
10) ay=xx; donc yy
bx = 0, ou yy = bx. Or ay =
*x donne Al, ou KL. PQ :: PQ. PA, &yy=bx donne
PQ. PA :: PA. AD, ou MN; donc KL, PQ,PA, &
MN sont continuellement proportionnelles. C. Q. F. D.

EXEMPLE IV.
Problême Solide.

4. UN E courbe AM, dont l'axe est AP, son sommet A, F1 G.99 & un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe, étant donnez de position sur un Plan, il faut mener du point D une ligne droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou sa tangente au point Mà angles droits.

Ayant supposé le Problême résolu, soient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite ME parallele à AC, qui rencontrera DBen E; & par le point M la tangente MT. Nommant présentement les données AB, b; DB, c; & les indéterminées AP, x; PM, y; & PT, t; BP ou ME sera b + x, fi le point B est hors de la courbe, & DE, c-y.

Langle CMT étant droit par l'Hypothese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables; c'est pourquoi l'on aura y (MP). t (PT) :: x + b (EM).c-y(ED); donc cy - yy = tx + bt, qui est une équation générale pour toutes les courbes AM, & que l'on déterminera à

telle courbe que l'on voudra, en y substituant en la place det, l'exprefsion de la foutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soit une Parabole; PT sera (Art. 11. no. 6.) = 2x=t; c'est pourquoi en mettant pour t sa valeur 2x, l'on aura cy-yy = 2xx + 26x, qui est une équation à l'Ellipse; & nommant le parametre de la Parabole a, l'on aura (Art. 10.) ax = yy, qui est l'équation à la Parabole AM.

Si l'on fait évanouirx, l'on aura une équation du troisiême degré, qui ne peut être réduite; & par conféquent le Problême propose est solide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipse, ou à l'Hyperbole par raport à ses diametres où les inconnues ne se multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte.

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la Parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsi en divisant par 2 l'équation précédente cy-yy=

2xx + 2bx, l'on a cy-yy=xx + bx, & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole ax = yy; l'on auracy - ax = xx + bx, qui est une autre équation à la Parabole; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole, l'on auracy - ax+ ax = xx + bx + yy, ou cy+ax = xx + bx + yy, qui est une équation au cercle.

I

2

Quoique l'on pût construire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la seconde équation à la Parabole; il est néanmoins à propos de se fervir de la premiere ax =yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don

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