à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui fera déterminé, fi elle ne renferme qu'une feule lettre inconnue.

Mais fi elle renferme plufieurs lettres inconnues, il faut tâcher par le moyen des differentes conditions du Problême de trouver autant d'équations que l'on aura employé de lettres inconnues, afin que les faifant évanouir, de la maniere qu'il est enseigné dans tous les livres d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une feule, cette équation étant reduite, s'il eft necessaire, à fes plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la folution du Problême qui fera encore déterminé.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employé de lettres inconnues, de forte qu'il refte au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Problême fera indéterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, fi dans la derniere équation il reftoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indéterminé, mais il feroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est souvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il est déterminé ou indéterminé, auquel cas on fçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule: mais il arrive auffi quelquefois que cela n'eft pas fi facile à diftinguer, & c'eft en ce cas qu'il faut tâcher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe; car tout ce Traité n'en eft que l'application. On fe contentera de faire ici quelques réflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues, c'està-dire fur les équations déterminées, & fur les indéter

minées.

DES

DES EQUATIONS DETERMINE'E S. 3.ON fçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimenfions dans le terme où elle eft le plus élevée, que ces valeurs font vrayes, fausses, ou imaginaires; on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même efpece dans une même équation: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois efpeces, de vrayes, de fauffes & d'imaginaires. Les racines vrayes ou pofitives font celles qui font précedées du figne+: comme x =+a.

Les racines fauffes ou negatives font celles qui font précedées du figne : comme x=- -a. Les racines fauffes font d'un grand ufage dans la Geometrie; car comme elles font autant réelles que les racines pofitives, elles fervent à déterminer les pofitions des courbes autant que les pofitives, dont elles ne different qu'en ce que les pofitives devant être prifes d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fauffes doivent être prifes de l'autre, comme on verra dans la fuite.

Les racines imaginaires font celles qui font fous un figne radical avec le figne-, dont l'expofant eft un nombre pair: comme x =√—ab; & comme la valeur de ces racinês ne peut être exprimée, on les regarde comme nulles ou=0; de forte que xV-ab doit être regardée comme x=0.

Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'expofant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une pofitive & l'autre negative; toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx=aa, l'on tire x = a, & x—— a ; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toujours xx=aa, puifque donne auffi bien que +x+, & en general de xa (p. fignifie un nombre pair quelconque) l'on tire x=a: ce qui fe prouve comme on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puissance paire p; car l'on aura toujours x=+a2.

B

Si l'un des termes eft pofitif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on n'aura jamais le figne de après avoir élevé une quantité negative à une puiffance paire : par exemple — a élevé à une puiffance paire p donnera toujours + a2, & jamais — ao.

a,

Si l'expofant de l'inconnue eft un nombre impair, l'inconnue n'aura qu'une racine réelle qui eft pofitive, lorsque les deux termes des équations font pofitifs; negative lorfqu'un d'eux eft negatif, toutes fes autres racines font imaginaires : par exemple, de x3-a3, on tire x=a, & non pas x = & de x'――a', on tire x =—a & non pas xa; car le cube d'une grandeur pofitive eft toujours pofitif, & celui d'une quantité negative est toujours negatif. Et en general de x2+aa (q fignifie un nombre impair) on tire x+a; de même, de xa——aa on tire x=—a : cara élevé à une puiffance impaire q donne +aa: &—a élevé à une puiffance impaire q donne toujours — aa.

On fera les mêmes raisonnemens fur les équations compofées par exemple xx=aa + bb donne x =+ √aa+bb, xx=aa—bb donne x=+Vaa―bb: mais en ce cas fi b surpasse a, les deux valeurs de x feront imaginaires. xx=+ax+bb donne x=±2a±√÷aa=bb:car en transposant l'on aura xxax==bb; & ajoutant aa de part & d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xx+ax+aa= aabb; donc en extrayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x ¦a=±√¦aa+bb, ou x=÷÷a±√ aabb. Il en est ÷ ainfi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce dernier exemple, & dans les femblables, bb a le figne de, & que b surpasse a, la valeur de x fera imaginaire; car puisque la quantité aa bb qui est sous le figne radical, eft alors negative Vaa-bb fera une quantité imaginaire ; & par confequent aussi ±1⁄2 a±

aa-bb: car une quantité imaginaire étant combinée par addition ou fouftraction avec une quantité réelle, rend le tout imaginaire.

par

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé le plus haut degré, ou ce qui eft la même chofe, par la plus haute puiffance de l'inconnue, qui fe trouve dans l'équation qui fert à le réfoudre, en fuppofant que cette équation foit réduite à fon expreffion la plus fimple. De forte que lorsqu'en réfolvant un Problême, on vient à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimenfion : comme x = qui eft une équation du premier degré, le

ab

C

Problême eft appellé fimple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux dimenfions: comme xxax+bb, qui eft une équation du fecond degré, le Problême eft nommé plan.

x3

=

=

Lorfqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois ou quatre dimenfions, comme — aab, où x* — ab, qui font des équations du troifiême & du quatriême degré, le Problême eft nommé folide.

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue est élevée au-delà du 4° degré, le Problême eft nommé lineaire.

5. Quand une équation déterminée a tous fes termes, le nombre en eft plus grand de l'unité, que l'expofant de la plus haute puiffance de la lettre inconnue qu'elle renferme. Ainfi une équation du fecond degré ne peut avoir que trois termes; une équation du troifiême degré, n'en peut avoir que quatre; une du quatriême, cinq'; & ainfi des autres. Mais il y manque fouvent quelqu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plufieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, eft celui où l'inconnue eft élevée à une puiffance plus haute que dans tout autre terme. Le fecond, eft celui où elle est moins élevée d'une dimension. Le troifiême, celui où elle est moins élevée de deux dimenfions; & ainfi de fuite. Le dernier, eft celui où elle ne fe trouve point du tout.

Mais il faut remarquer qu'il se rencontre souvent dans une équation des termes complexes, ou compofez de plufieurs quantitez Algebriques, jointes ensemble par + ou par qui font ceux où l'inconnue fe trouve élevée à la même puiffance, ou bien ceux où elle ne fe trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx-b*x+ cxx, ou abb—bcc+d', ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation feul dans le premier membre, & tous les autres dans le fecond, felon leur ordre, ou bien on les égale tous à zero, en les écrivant tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre ; & en écrivant o feul dans le deuxième, en obfervant que le premier foit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation suivante.

DES EQUATIONS INDETERMINE'ES. III. LEs équations où il se rencontre deux lettres inconnues, qu'on appelle auffi équations locales, fervent à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une, fervent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues, en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre ; c'est pour cela qu'on eft obligé d'affigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant enfuite comme donnée, on pourra connoître la valeur de l'autre.

Et comme on peut affigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une après l'autre, l'autre inconnue en pourra auffi avoir une infinité. Mais en donnant ainfi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation,