Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra decrire un cercle du centre C, & du rayon KZ ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLAIRE I.

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prises sur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y =PM, l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & affigner à y des valeurs CQ prises sur CG, qui auroient servi à déterminer de la même maniere les valeurs correspondantes de x= QM= CP, en tirant de l'équation précedente, x=Vaa - уу.

II.

COROLLAIRE II.

IL est clair que si une des inconnues x de cette équation yy = aa - xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il suit en general que toutes les équations déterminées du second degré peuvent être construites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQUES.

12. ON remarquera 10. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les positions du point la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

20. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) fur CH, & l'autre (Q) fur CG, qui peuvent servir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les autres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITIONS.

13. DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) est fixe, & dont les parties (CP) font nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour déterminer la grandeur de la ligne (PM) exprimée par l'autre inconnue, sont nommées axes ou diametres de ces courbes.

14. Les mêmes parties (CP) font nommées abcisses ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu supposant l'autre inconnue comme donnée à chaque position du point P, & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point Pchange de place, font nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & CQ à PM, & que le point pris sur CG peut servir à trouver le point M aussi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; CQ pour l'abcisse, ou coupée ; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée; c'est pourquoi on nommera CH, & CG, axes ou diametres conjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées; le parallelogramme CPMQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées; & le point C, le commencement, ou l'origine des coordon.

nées.

17. Les équations indéterminées ne servent pas seulement à construire les Problêmes indéterminez, ou à décrire les courbes ausquelles elles se rapportent, & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur

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moyen construire tous les Problêmes déterminez: car il n'y a point de Problême déterminé, quelque simple qu'il puisse être, où pour le résoudre, on ne puisse employer deux lettres inconnues, & trouver par consequent deux équations indéterminées, qui étant construites ensemble, selon les regles qu'on donnera dans la suite, les lignes droites ou courbes, ausquelles elles se rapportent, détermineroient par leur intersection les points qui satisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit tiré ces équations. On pour roit aussi tirer de ces fortes de constructions des démonstrations très-simples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problêmes ne seroient pas tous construits avec les lignes les plus simples qu'ils le puissent être, quoique d'ailleurs la construction en fût très-simple. Or selon Mr Descartes, & felon la raison même, c'est un vice en Geometrie d'employer dans la construction d'un Problême des lignes plus composées que celles qu'exige sa nature.

On trouvera dans l'art. 4. no. 17, 18, 19, 20 & 21, des regles pour faire connoître quand un Problême déterminé peut être construit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour diftinguer les courbes les plus simples d'avec les plus composées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître que la courbe dont elle exprime la nature est plus ou moins simple. Et le degré d'une équation est déterminé par la plus haute puissance de celle des deux inconnues, qui est la plus élevée, lorsqu'elles ne le font pas également, ou par le produit des deux inconnues, quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimensions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainfi lorfque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, soit qu'elles foient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimensions; comme ax=yy, ou ax - xx = yy, ou xy = ab; l'équation est du second degré, & la courbe dont elle exprime la nature, est du premier genre.

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Lorsque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimensions, comme x'+axy=a', ou x3-axy=y3, ou xxy = ayy + a', l'équation est du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, est du second genre, & ainsi de suite. Or on convient que les courbes du premier genre sont plus simples que celles du second; & cel les-ci plus que celles du troisiême, &c. C'est pourquoi ce feroit un vice de construire un Problême par le moyen d'une courbe du second genre, lorsqu'il peut être construit par le moyen d'une courbe du premier. Il en est ainsi des autres genres.

REMARQUE.

19. LORSQU'ON décrit une courbe par le moyen de son équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change fa valeur pour déterminer la valeur correspondante de l'autre, on doit donc aussi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée; & parceque les équations déterminées, sont d'autant plus faciles à construire, que leurs inconnues ont moins de dimensions; il est à propos dans les équations indéterminées, où les inconnues ne sont pas également élevées, de prendre pour conftante, celle qui a plus de dimensions; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puisque trouver un point d'une courbe, c'est résoudre un Problême déterminé; lorsque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour constante, n'aura qu'une dimension, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes fimples déterminez. Lorsque cette inconnue aura deux dimenfions, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes plans ; lorsqu'elle en aura trois ou quatre, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes solides; & lorsqu'elle en aura un plus grand nombre, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes lineaires.

On remarquera aussi que toutes les operations que l'on fait en Geometrie, dépendent de la Geometrie plane, c'est-à-dire de la construction des équations déterminées du premier & du second degré ; c'est pourquoi lorsque l'inconnue que l'on ne prend point pour constante dans une équation indéterminée, aura plus de deux dimensions, on ne pourra construire cette équation par elle-même, il la faudra changer en deux autres équations, où l'une des inconnues n'excede point deux dimensions ; & par le moyen de ces deux équations, on décrira les deux courbes dont elles exprimeront la nature, & leur interfection sera un des points de la courbe dont l'équation proposée exprime la nature.

En déterminant le genre des courbes, comme on a dit (no. 17.) on trouvera que le premier genre n'en renferme que quatre, qui font le cercle, la parabole, l'ellipfe & l'hyperbole. De forte que toutes les équations du second degré appartiennent à quelqu'une de ces quatre courbes. Mais comme le cercle, à cause de sa description qui est très-simple, passe pour la plus simple des quatre, ce seroit encore un vice en Geometrie, d'employer une des trois autres, lorsque le cercle peut y être employé seul.

C'est parceque l'on construit la plus grande partie des Problêmes de Geometrie par le moyen de ces quatre courbes, que je me suis déterminé à donner dans cet Ouvrage les élemens de la parabole, de l'ellipfe & de l'hyberbole, les proprietez du cercle étant assez connues d'ailleurs, afin de n'y supposer que les simples élemens de Geometrie.

Les Geometres distinguent deux fortes de courbes ; les courbes Geometriques, & les courbes Méchaniques.

20. Les courbes geometriques, sont celles dont les axes ou les diametres conjuguez, & les coordonnées font des lignes droites, qui peuvent toujours former un parallelogramme, que nous avons nommé (no. 16.) le parallelogramme des coordonnées, & qui ont des équations reglees qui expriment le raport que ces coordonnées ont entr'elles; & dont on peut trouver par le moyen de ces