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née AM qui fe trouve toute conftruite, c'eft pourquoi il ne refte qu'à construire l'équation au cercle, afin le Problême foit entierement réfolu.

que

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

4

Ayant pris AF = b — a, on menera FG parallele BD &c, & du centre G par A, l'on décrira un cercle qui coupera la Parabole au point cherché M.

DE'MONSTRATION.

AYANT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui
rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en 1,
l'on aura par la propriété du cercle, GA ou G 12 →→→
GH'=
HM2, ou en termes algebriques 1 bb — 1⁄2 ab +
aa+1cc-xx — bx 1 bb + 1⁄2 ax + 4 ab

=yy - cy + ce, qui fe réduit à xx + bx

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ax

cy-yy. L'on a aussi par la propriété de la Parabole ax = addition avec l'équation prépar yy, qui étant combinée cédente donne xx + bx + 1⁄2 ax = cy, ou 2xx + 2bx cy-yy (en mettant pour ax fa valeur yy, en multipliant par 2, & transposant) qui est l'équation que l'on a conftruite. C. Q.F.D.

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5.

Problême Solide.

Iz L faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on FIG. 100, connoit le plus grand ED des deux fegmens de la bafe faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B fur la base CD, & la différence DF des côtez.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les don nées ED, a; DF, b; & les inconnues EC, x; CB, ou

BF

زاد

CD fera x + a ; & BD, y+b; l'on aura à caufe des triangles rectangles CEB, BED, CB —— C E2 ——— D B2 — Ď E2, & en termes algebriques yy

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xx=yy + 2by + bb — aa, ou xx aa - 2by bb, qui eft une équation à la Parabole.

A caufe des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB) :: y. x (CE); donc yy=ax+xx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait préfentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du quatriême degré qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond, montre que le Problême est solide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues x & y, n'ayent point les qualitez dont il eft parlé dans la premiere Obfervation de l'Article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du fecond de-. gré où les deux inconnues ne font point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen conftruire le Problême, comme on va voir par cet exemple.

tion xx = aa

aura yy

ax = da

La feconde équation yy = ax + xx donne xx=yy ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équa 2by — bb, qui eft à la Parabole, l'on 2by-bb, qui eft une autre équation à la Parabole, & en ajoutant les deux premiers & les deux feconds membres de ces deux équations à la Parabole, l'on aura xx ✦yy — xx — ax + yy + 4by = =

au cercle.

- ax = 2aa

=2aa

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4by-2bb, ou abb, qui eft une équation

Pour réduire cette équation, foit fait x — - {a=z&y

✈ 2b = u ; l'on aura z<= 2 aa+2bb réductions fournit cette construction.

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Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on fuppofe perpendiculaire à AG; & qui va en haut, A cause de la premiere réduction x

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mené

prendra AR= a, & ayant par R la perpendiculaire RO; à cause de la feconde réduction y + 26 = u l'on prendra RO2b; & le point O fera le centre du cercle qu'il faut décrire, à caufe de 2bb, on prendra R I moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, & du rayon I H, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en forte que AH= a, l'on décrira un cercle.

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ax = ad·

Pour conftruire préfentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la feconde yy 2by. bb, ou yy + 2by =ax + aa bb; foit fait pour la réduire y + b = f, & x + a = t, & l'on aura sf=at, qui donne avec fes réductions cette construction. A cause de la feconde réduction x + at, l'on prolongera AG du côté de A en H, en forte que A Ha, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HKb, l'on menera KS parallèle à AG, & l'on décrira (Art. 10. no. 11.) fur l'axe KS, dont le fommet eft K, une Parábole le par moyen de l'équation réduite ss=at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de maniere FIG.Ico. qu'ayant abbaiffé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ; PM fera la valeur pofitive de y=CB; NQ, fa valeur négative; & AP, la valeur de x EC. De forte que fi l'on fait ECAP, & qu'on décrive fur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB PM, & mené BD, le triangle CBD fera celui qu'il faloit décrire.

DE'MONSTRATION.

AYANT joint IH & mené par le centre O le diametre
VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en

de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la propriété du cercle, l'on aura IH2, où OV, ou OT2 — 0X2 = XM2, ou en termes algebriques 2 aa

Cc

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266

-xx + ax

aayy4by + 4bb, ou zaa — xx

+ ax = yy+ 4by + 2bb.

Par la propriété de la Parabole KM dont le parametre eft a, l'on aura a × KL = x LM', ou ax + aa= yy+ 2by bb, ou en fouftrayant la feconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le fecond du fecond, l'on aura aa-xx — zby bb, qui est la premiere équation du Problême, & en fouftrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xxyy, qui eft la feconde équation du Problême. C. Q. F. Ď.

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Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problemes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du troifiême, & du quatriéme degré.

XXIV.

Отт

MÉTHODE.

Str qu'on ait employé deux ou plufieurs

lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on eft venu à une équation déterminée du troifiême ou du quatriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du fecond, le Problême eft neceflairement Solide, comme on a déja dit ailleurs, & on le pourra toujours conftruire par le moyen de cette équation, en obfervant les régles qui

fuivent.

1. Si l'équation a un fecond terme, on le fera premie rement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation eft du troifiême degré, on la multiplie ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du qua

triême.

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres fera le quarré de la lettre inconnue de l'é quation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui fe trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire: car par ce moyen on rend la construction un peu plus fimple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à conftruire dans le premier & dans le troifiême terme : ( car on

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