née AM qui se trouve toute construite ; c'est pourquoi il
ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin que le
Problême soit entierement refolu.
: L'équation au cercle étant réduite , donne avec les ré.
ductions, cette construction.

Ayant pris AF=1b-; on menera FG parallele BD &=,& du centre G par A , l'on décrira un cer. cle qui coạpera la Parabole au point cherché M.

D E'MONSTRATION.
ANT joint GA, & mené G I parallele à AP, qui

GI å
rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en 1,
l'on aura par la propriété du cercle, GA ou G 1
GH=HM', ou en termes algebriques bb- ; ab +
to aa + tócc- ** - -bx -bb + ax + ab is na
=yy - įgy + tóc, qui se réduir à xx + bx

į ax = 1cy;--yy. L'on a aulli par la propriété de la Parabole ax= yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précédente donne,xx + bx + {ax = cy, ou 2xx + 26x cy — yy ( en mettant pour ax sa valeur yy, en multipliant par 2, & transposant , qui est l'équation que l'on a conItruite. C. Q.F. D.

Problême Solide.
S.
IZ

L faut décrire un triangle CBD rectangle en B , dont on Fig. 100. connoît le plus grand ED des deux segmens de la base faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B sur la base CD, & la différence DF des cötez.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé les données ED, a; DF,b; & les inconnues EC , X; CB, ou

zby + bb

/

*

BF,9; CD sera x + a; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CBCE= DB - DE, & en termes algebriques yy. XX = yy +

- aa, ou xx= aa - zby - bb, qui eft une équation à la Parabole.

A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB ) ::y. * (CE) ; donc yy=ax+ **, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait présentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du quatriême degré qui ne pouvant être réduire à une équation du second, montre que le Problême est solide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues x &y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Observation de l’Article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second de.. gré où les deux inconnues ne sont point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen construire le Problême , comme on va voir par cet exemple. La seconde équation yy = ax + xx donne xx=yy

& mettant cette valeur de xx dans la premiere équation xx = aa

2 by — bb, qui est à la Parabole , l'on

- 2by — 66, qui est une autre équation à la Parabole ; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la Parabole , l'on aura xx + yy

4by — 2bb, ou ** — ax + yy + 4by

266, qui est une équation au cercle.

Pour réduire cette équation, foit fait * {a=2&y + 26=u; l'on aura 32= a + 2bb — uu, qui avec les + aa rédu&ions fournir cette construction.

Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on suppose perpendiculaire à AG; & qui va en baut,' A cause de la premiere réduction ® a=2, on

prendra

ax,

aura yy.

ax = aa

- ax = 2aa

XX

5

ܪ

=

= +

66

prendra AR={a, & ayant mené par R la perpendicu-
laire RO ; à cause de la seconde réduction y + 26=u,
l'on prendra RO= 26; & le point o sera le centre du
cercle qu'il faut décrire; à cause de 2bb, on prendra RI
moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0,
& du rayon 1 H , que l'on déterminera en prolongeant
RA en H, en sorte que AH= a, l'on décrira un cer-
cle.

Pour construire présententent l'une des deux équations
à la Parabole, par exemple la seconde yy — ax = aa —

, zby - bb, ou yy + zby = ax + aa

6b; soit fait pour
la réduire y +b=S, & x+a=t, & l'on aura ]=at,
qui donne avec ses réductions certe construction. A causé
de la seconde réduction x +a=t, l’on prolongera AG

a
du côté de A en H, en sorte que AH=a, & ayant
mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere
réduction y+b=li on prendra HK=b, l'on menera
KS parallèle à AG, & l'on décrira ( Art. 10. no. 11.) sur
l'axe KS, dont le sommet est K, une Parábole par le
moyen de l'équation réduite s=dt. Cette parabole cou-

=at
pera le cercle en deux points M & N, de maniere F16.100.
qu'ayant abbaissé des points M & N les perpendiculaires
MP, NQ;P M sera la valeur positive de y=CB; NQ,
sa valeur négative ; & AP, la valeur de x= EC. De
sorte que si l'on fait EC = AP, & qu'on décrive sur le
diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB

PM, & mené BD, le triangle CBD sera celui qu'il faloit décrire.

ys

D E'M ONSTRATION.

Ayant joint I H & mené par le centre o le diametre

o
VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en
X de part ou d'autre du point O. Par la construction, &
par la propriété du cercle, l'on aura IH”, ou Or", ou
OT' – ox'= XM, ou en termes algebriques aa +
"
'

Cc

est a,

=

2bb – xx + ax — aa=yy + 4by + 466, ou 2aa - xx

4 = + ax=yy + 4by + 2bb. Par la propriété de la Parabole KM dont le

parametre l'on aura a x KL LM', ou ax + aa= yy+ 2by + bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere , le premier membre du premier ; & le second du second, l'on aura aa — xx = zby + bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx =yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D.

le

SECTION X.
Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes
Solides
par

moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose , de construire les équations déterminées du troisiéme , @s du quan triéme degré.

M É T H O D E.

XXIV.

See

Oit qu'on ait employé deux ou plusieurs

lettres inconnues , ou qu'on n'en ait employé qu'une pour résoudre un Problême, quand on est venu à une équation déterminée du troisième ou du quarriême degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problème est necessairement Solide, comme on a déja. dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les regles qui fuivent.

1. Si l'équation a un second terme , on le fera premierement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation est du troisiême degré, on la multipliera par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriễme.

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que

l'on veut construire, & l'autre membre sera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire

: car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisiême terme : ( car on