née AM qui se trouve toute construite; c'est pourquoi il ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin que le Problême soit entierement résolu.

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

Ayant pris AF =b-a, on menera FG parallele BD &c, & du centre G par A, l'on décrira un cercle qui coupera la Parabole au point cherché M.

DEMONSTRATΙΟΝ.

a

AYANT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en I, l'on aura par la propriété du cercle, GA ou G 12

GH2=HM2, ou en termes algebriques bb-ab+

I

-ax=

۱

=yy-y+co, qui se réduit à xx + bx
cy-yy. L'on a aussi par la propriété de la Parabole ax =
yy, qui étant combinée par addition avec l'équation pré-
cédente donne xx + bx + ax=cy, ou 2xx + 2bx=
cy-yy (en mettant pour ax sa valeur yy, en multipliant
par 2, & transposant) qui est l'équation que l'on a con-
struite. C. Q. F. D.

EXEMPLE V.

Problême Solide.

:

1

5. IL faut décrire un triangle CBD rectangle en B, dont on FIG. 100, connoit le plus grand ED des deux segmens de la base faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B fur la base CD, & la différence DF des cotez.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé les données ED, a; DF, 6; & les inconnues EC, x; CB, ou

BF,y; CD sera x + a; & BD, y+b; l'on aura à caufe des triangles rectangles CEB, BED, CB- C F = DB2 - D E2, & en termes algebriques yy -2by

aa,

ou

xx aa

2by + bb
équation à la Parabole.

xx =yy + bb, qui eft une

A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a+x(DC). y (CB) :: y.x (CE); donc yy=ax + xx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait présentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du quatriême degré qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre que le Problême est solide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues x & y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Observation de l'Article 4. Neanmoins, parceque l'on peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second degré où les deux inconnues ne sont point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen construire le Problême, comme on va voir par cet exemple.

ax = aa

La seconde équation yy = ax + xx donne xx =yy ax, & mettant cette valeur de xx dans la premiere équa tion xx = aa - 2by-bb, qui est à la Parabole, l'on aura yy - 2by-bb, qui est une autre équation à la Parabole; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la Parabole, l'on aura xx + yy - 4by 2bb, ou - ax + yy + 4by = 2aa -266, qui est une équation

xx

au cercle.

ax 2

x-a=2&y uu, qui avec les

Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on suppose perpendiculaire à AG; & qui va en haut. A cause de la premiere réduction x - a = x, on

2

prendra prendra AR = a, & ayant mené par R la perpendiculaire RO; à cause de la seconde réduction y + 2b = u, l'on prendra RO = 26; & le point O fera le centre du cercle qu'il faut décrire; à cause de 2bb, on prendra R I moyenne proportionnelle entre 26, & b; & du centre 0, & du rayon IH, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en forte que AH = a, l'on décrira un cercle.

Pour construire présentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la seconde yy bb, ou yy

+

= ax + aa

- ax = aa

2by 2by bb; soit fait pour la réduire y + b=f, & x + a = t, & l'on aura ff =at, qui donne avec ses réductions cette construction. A cause de la seconde réduction x + a = 1, l'on prolongera AG du côté de A en H, en forte que AH = a, & ayant mené HK perpendiculaire à AH; à cause de la premiere réduction y+b=/; on prendra HK = b, l'on menera KS parallele à AG, & l'on décrira (Art. 10. no. 11.) fur l'axe KS, dont le sommet est K, une Parabole par le moyen de l'équation réduite ff=at. Cette parabole coupera le cercle en deux points M & N, de maniere FIG.100. qu'ayant abbaissé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ; PM sera la valeur positive de y = CB; NQ, sa valeur négative; & AP, la valeur de x = EC. De forte que si l'on fait EC = AP, & qu'on décrive sur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté C B = PM, & mené BD, le triangle CBD fera celui qu'il faloit décrire.

DE'MONSTRAΤΙΟΝ.

AYANT joint IH & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera MP prolongée en ☑ de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la propriété du cercle, l'on aura IH2, ou OV, ou

2

2

OT-OX XM2, ou en termes algebriques & aa+

Cc

4

101.

266

xx + ax-aa=yy+4by + 466, ou 2aa - xx + ax = yy + 4by + 266.

Par la propriété de la Parabole KM dont le parametre est a, l'on aura a x KL = LM3, ou ax + aa= yy+ 2by + bb, ou en soustrayant la seconde équation de la premiere, le premier membre du premier; & le second du second, l'on aura aa xx = 2by + bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx = yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D.

Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes Solides par le moyen de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la même chose, de construire les équations déterminées du troisième, & du qua triéme degré.

XXIV.

S

MÉTHODE.

OIT qu'on ait employé deux ou plusieurs lettres inconnues, ou qu'on n'en ait employé qu'une pour réfoudre un Problême, quand on eft venu à une équation déterminée du troisième ou du quatrième degré, qui ne peut être réduite à une équation du second, le Problême est necessairement Solide, comme on a déja dic ailleurs, & on le pourra toujours construire par le moyen de cette équation, en observant les régles qui fuivent.

1. Si l'équation a un second terme, on le fera premierement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation est du troisiême degré, on la multiplie ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriême.

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'équation que l'on veut conftruire, & l'autre membre fera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus fimple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à conftruire dans le premier & dans le troisième terme: (car on