suppose qu'elle n'en a point de second) en substituant en sa place, sa valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la Parabole.

5. On combinera par addition ou soustraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle, & la plus simple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les intersections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à construire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent.

7. TROUVER une ligne dont le cube soit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don. née CD, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition

du Problême x2. ' :: m. n, d'où l'on tire x

ma3

n

qui est une équation du troisiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême est Solide.

=

En multipliant cette équation par x, l'on aura x+

max

n

& faisant (n°. 3.) ay = xx, qui est une équation à la Parabole, l'on a aayy = x*; & mettant dans l'équation à construire pour ** sa valeur aayy, l'on

4

4

qui est une autre équa.

tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yу —

ay=

max

n

- xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, résoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite (Art. 10. no. 11). sur l'axe AG dont le sommet est A la Parabole AH, dont la parametre soit a = CD. Cette Parabole sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris fur AG, AI=a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à -, & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui

ma

20

ma3

coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x'= que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

trouver.

DEMONSTRATΙΟΝ.

n

AYANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R, & PM en O. L'on a par la proprieté du cercle KA, ou KR-KO*=0M2, се

qui est en termes algebriques-aa+maa -yy+ay

1

-xx=00

тах

n

+

mmaa

4nn

qui devient ay - yy = Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

; mettant donc dans l'équa

FIG. 103.8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu; puisque par l'Hypothese les arcs BD, DF, FC, sont égaux, les cordes BD, FD, FC feront aussi égales, & DF fera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB, ADF, AFC feront égaux, femblables & ifofceles, comme aussi les triangles BHD, CKF: car l'angle CFK (=KFD=AKH)=CKF. Par la même raison l'angle BDH = l'angle BHD; c'est pourquoi, puisque (Hyp.) CF=DB; CK fera = BH. Mais les triangles ACF, CFK, FKI, font aussi semblables & ifofceles: car à cause des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD)

=IKF=KFC=FCA.

En nommant présentement le rayon AC, a; la donnée BC, 6, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH, ou HB, x; l'on aura AC (a). CF (x) :: CF (x).FK=-, & CF

XX

a

(x). FK () :: FK().KI, donc CI =

a

a

aa

; & partant CB=IB+CI= 2x + x

aa

=6;

d'où l'on tire x3 =3aax-aab, qui est une équation du troisiême degré, & qui ne pouvant être réduite à une équation du second, fait connoître que le Problême est solide.. Pour le construire, foit premierement l'équation précédente multipliée par son inconnue x, & l'on aura x = заахх-aabx; & ayant fait

Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x4, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divisé par aa, yy=3ay-bx, qui est une autre équation à la Parabole. Ét en combinant par addition ou foustraction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après la réduction yy -4ay= - xx - bx, qui est une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, résoudra le Problême.

104.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va Fig.103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & foit décrite (Art. 10. no. 11.) sur l'axe AG, dont le sommet foit A, la parabole FAN dont le parametre soit a=(Fig. 103.) AC. Cette Parabole sera celle dont l'équation est ay = xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction.

2

Soit prise Al = 2a=(Fig. 103.) 2AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &=b= BC, l'on dé crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendiculaires MP, NQ, FE sur l'axe AG de la Parabole, qui sont les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux desquelles PM, & QN sont positives, & la troisiême EF, negative, de forte que PM sera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser ; & QN, la corde du tiers du reste du cercle BVC.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole l'on a (Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR FIG.104. parallele à AG; l'on aura par la proprieté du cercle KA, ou KR-KT2=TN2, ou KZ-KX2=XM2, ou en termes algebriques, 4aa + + bb-yy4ay - 4aa= xx + bx ++bb, ou 4ay-yy = xx+bx; & en remettant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx, &

4

&- - prises

aa

dans l'équation à la Parabole ay=xx, l'on aura, après les réductions, x' = 3aax – aab. C. Q. F. D.

9. S'IL y avoit un second terme dans l'équation que l'on vient de construire, il auroit falu avant toutes choses le faire évanouir ; & alors l'inconnue x, qui exprime la corde CF (Fig. 103.), ne se seroit plus trouvée dans l'équation à construire; c'est pourquoi les perpendiculaires PM, QN, ne seroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC, qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit servi à faire évanouir le second terme; ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.

REMARQUE II.

FIG.104. 10. Les valeurs positives de x, PM & QN font ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en Z, S & H, & le diametre ZR en X, T & 0. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG, qui est l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c; PM, x; QN, y; & FE, z; PZ fera, 20+2; QS, 20+y; & EH, 2-20. AP fera (Art. 10.)

yy

**; AQ, ; AE, ; & partant PG, 6-; QG,

a

a

a

DE'MONSTRATΙΟΝ.

L'on a par la proprieté du cercle.

a