fuppofe qu'elle n'en a point de second) en substituant en fa place, fa valeur prife dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera fera une autre équation à la Parabole, 5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte foit une équation au cercle. 6. On construira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à conftruire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent. 7. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée CD, a ; & l'inconnue x l'on aura par la condition du Problême x3. a' :: m. n, d'où l'on tire x3 ma3 n qui eft une équation du troifiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft Solide. En multipliant cette équation par x, l'on aura x4 & faisant (no. 3.) ay = xx, qui est une équa max n tion à la Parabole, l'on a aayy=x; & mettant dans l'équation à construire pour x fa valeur aayy, l'on 4 , qui est une autre équa tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à la Parabole par addition ou foustraction, l'on aura yy – max ay= - xx, qui est une équation au cercle dont la n construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême. Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. & x qui lui eft perpendiculaire. Et foit décrite (Art. 10. no. 11). fur l'axe AG dont le fommet est A la Parabole AH, dont la parametre foit a CD. Cette Parabole fera celle dont l'équation est ay=xx. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction. ma Ayant pris fur AG, AI=a= a = CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x3-ma que l'on vient de conftruire, eft le côté du cube qu'il faloit trouver. DEMONSTRATION. la AYANT mmaa 4nn = -yy+ay 4 Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.) ay=xx ; donc yy tion précédente pour ay, fa valeur xx, & pour yy, sa FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales Ayant fuppofé le Problême réfolu; puifque par l'Hy- =IKF KFC FCA. En nommant préfentement le rayon AC, a; la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH,ou HB,x; l'on aura AC (a). CF (x) :: CF ( x ). FK= & CF хх ( x ). FK ( = ) :: FK ( ~ ). KI ==, a a XX donc CI= ; & partant CB=IB+CI= 2x + x —. = d'où l'on tire x3-3aax- aab, qui eft une équation du Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x1, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy3ay—bx, qui eft une autre équation à la Parabole. Et en combinant par addition ou foustraction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après la réduction yy — 4ay —— xx-bx, qui est une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême. 104. Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & soit décrite (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG, dont le fommet foit A, la parabole FAN dont le parametre soit a= (Fig. 103.) AC. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction. = Soit prise AI = 2a=(Fig. 103.) 2 AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &= b— BC, l'on dé. crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lefquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendicu laires MP, NQ, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & la troifiême EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser, & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC. DE'MONSTRATION. PAR la proprieté de la parabole l'on a ( Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRFIG.104. parallele à AG, l'on aura par la proprieté du cercle KA', KĀ, ou KR1— KT1=TN', ou KZ'—KX'=XM3, ou en termes algebriques, 4aa + 4 bb — yy → 4ay xx + bx + 1 bb, ou 4ay —yy — xx+ bx; & en remettant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx, & prises 4aa = 1 dans l'équation à la Parabole ay=xx, l'on aura, après les réductions, x' — zaax — aab. C. Q. F.D. - REMARQUE I. 9. S'IL y avoit un fecond terme dans l'équation que l'on REMARQUE II. FIG.104. 10. LES valeurs pofitives de x, PM & QN font ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en Z, S & H, & le diametre ZR en X, T & 0. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG, qui eft l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c; PM, x; QN, y; & FE, ; PL fera, 26 +2; QS, 2c+y; & EH, z—2c. AP fera (Art. 10.) ༢ 2cx+xx = MP × PL. =2cy+jy=NQ × QS. =《《— 2¢༢= HE × EF, On |