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fuppofe qu'elle n'en a point de second) en substituant en fa place, fa valeur prife dans l'équation à la Parabole que l'on a formée, & l'équation qui en résultera fera une autre équation à la Parabole,

5. On combinera par addition ou fouftraction ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte foit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle, & la plus fimple des deux équations à la Parabole, comme dans la Section précédente, en fuppofant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les interfections de ces deux courbes donneront les racines, ou valeurs tant pofitives que négatives de l'inconnue de l'équation à conftruire. Tout ceci fera éclairci par les exemples qui fuivent.

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7. TROUVER une ligne dont le cube foit au cube d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée CD, a ; & l'inconnue x l'on aura par la condition

du Problême x3. a' :: m. n, d'où l'on tire x3

ma3

n

qui eft une équation du troifiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft Solide.

En multipliant cette équation par x, l'on aura x4 & faisant (no. 3.) ay = xx, qui est une équa

max

n

tion à la Parabole, l'on a aayy=x; & mettant dans l'équation à construire pour x fa valeur aayy, l'on

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4

, qui est une autre équa

tion à la Parabole. Et combinant ces deux équations à

la Parabole par addition ou foustraction, l'on aura yy –

max

ay= - xx, qui est une équation au cercle dont la

n

construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, FIG. 102. & x qui lui eft perpendiculaire. Et foit décrite (Art. 10. no. 11). fur l'axe AG dont le fommet est A la Parabole AH, dont la parametre foit a CD. Cette Parabole fera celle dont l'équation est ay=xx.

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L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

ma

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Ayant pris fur AG, AI=a=

a = CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à & du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on menera la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x3-ma que l'on vient de conftruire, eft le côté du cube qu'il faloit

trouver.

DEMONSTRATION.

la

AYANT
ANT joint AK, & mené KOR parallele à AP qui
rencontrera le cercle en R, & PM en 0. L'on a par
proprieté du cercle KA', ou KR'—KO'—0M2, ce

mmaa

4nn

=

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-yy+ay

4

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Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

ay=xx ; donc yy

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tion précédente pour ay, fa valeur xx, & pour yy, sa

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FIG. 103. 8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales
BD, DF, FC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu; puifque par l'Hy-
pothefe les arcs BD, DF, FC, font égaux, les cordes.
BD, FD, FC seront auffi égales, & DF fera parallele à
BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & ou-
tre cela la ligne FI parallele à AD; les triangles ADB,
ADF, AFC seront égaux, semblables & ifofceles, com-
me auffi les triangles BHD, CKF: car l'angle CFK
(=KFD=AKH)=CKF. Par la même raifon l'an--
gle BDH = = l'angle BHD c'est pourquoi
;
puifque
(Hyp.) CFDB; CK fera = BH. Mais les triangles
ACF, CFK, FKI, font auffi femblables & ifofceles: car
à caufe des paralleles AD, IF, l'angle KIF (=BHD):

=IKF KFC FCA.
=

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En nommant préfentement le rayon AC, a; la donnée BC, b, & l'inconnue CF, ou CK, ou IH,ou HB,x; l'on aura AC (a). CF (x) :: CF ( x ). FK= & CF

хх

( x ). FK ( = ) :: FK ( ~ ). KI ==,

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a

a

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XX

donc CI=

; & partant CB=IB+CI= 2x + x —.

=

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d'où l'on tire x3-3aax- aab, qui eft une équation du
troifiême degré, & qui ne pouvant être réduite à une équa
tion du fecond, fait connoître que le Problême eft folide.
Pour le construire, foit premierement l'équation pré-
cédente multipliée par fon inconnue x, & l'on aura x =
zaaxx-aabx; & ayant fait ay=
=xx, l'on aura aayy—

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Mettant donc dans l'équation du Problême, pour x1, & pour xx, leurs valeurs aayy, & ay; l'on aura après avoir divifé par aa, yy3ay—bx, qui eft une autre équation à la Parabole. Et en combinant par addition ou foustraction, ces deux équations à la Parabole, l'on aura après la réduction yy — 4ay —— xx-bx, qui est une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, réfoudra le Problême.

104.

Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va FIG. 103. vers G, & x perpendiculaire à AG qui va vers B, & soit décrite (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG, dont le fommet foit A, la parabole FAN dont le parametre soit a= (Fig. 103.) AC. Cette Parabole fera celle dont l'équation eft ay=xx. L'équation au cercle étant réduite, donnera, avec les réductions, cette construction.

=

Soit prise AI = 2a=(Fig. 103.) 2 AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &= b— BC, l'on dé. crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points A, M, N, F, parmi lefquels il y en a trois M, N, & F dont on peut tirer des perpendicu laires MP, NQ, FE fur l'axe AG de la Parabole, qui font les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Problême, deux defquelles PM, & QN font pofitives, & la troifiême EF, negative, de forte que PM fera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser, & QN, la corde du tiers du refte du cercle BVC.

DE'MONSTRATION.

PAR la proprieté de la parabole l'on a ( Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKRFIG.104. parallele à AG, l'on aura par la proprieté du cercle KA', KĀ, ou KR1— KT1=TN', ou KZ'—KX'=XM3, ou en termes algebriques, 4aa + 4 bb — yy → 4ay xx + bx + 1 bb, ou 4ay —yy — xx+ bx; & en remettant pour ay, & pour yy leurs valeurs xx, & prises

4aa =

1

dans l'équation à la Parabole ay=xx, l'on aura, après les réductions, x' — zaax — aab. C. Q. F.D.

-
=

REMARQUE I.

9. S'IL y avoit un fecond terme dans l'équation que l'on
LY
vient de conftruire, il auroit falu avant toutes chofes le
faire évanouir, & alors l'inconnue x, qui exprime la cor-
de CF (Fig. 103.), ne fe feroit plus trouvée dans l'équation
à construire; c'eft pourquoi les perpendiculaires PM,QN,
ne feroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC,
qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité
connue de l'équation qui auroit fervi à faire évanouir le
fecond terme, ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.

REMARQUE II.

FIG.104. 10. LES valeurs pofitives de x, PM & QN font ensemble égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette forte. On les prolongera en forte qu'elles rencontrent le cercle en Z, S & H, & le diametre ZR en X, T & 0. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG, qui eft l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou EO, c; PM, x; QN, y; & FE, ; PL fera, 26 +2; QS, 2c+y; & EH, z—2c. AP fera (Art. 10.)

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2cx+xx = MP × PL.

=2cy+jy=NQ × QS.

=《《— 2¢༢= HE × EF,

On

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