a

suppose qu'elle n'en a point de second ) en substituant en sa place , fa valeur prise dans l'équation à la Parabole que l'on a formée , & l'équation qui en résultera sera une autre équation à la Parabole,

s. On combinera par addition ou soustrađion ces deux équations à la Parabole, de maniere que l'équation qui en résulte soit une équation au cercle.

6. On construira l'équation au cercle , & la plus simple des deux équations à la Parabole , comme dans la Sedion précédente, en supposant que les lignes exprimées par les deux inconnues font un angle droit, & les intersections de ces deux courbes donneront les racines , ou valeurs tant positives que négatives de l'inconnue de l'équation à conîtruire. Tout ceci sera éclairci par les exemples qui suivent,

M

P L E

?

ma?

E X E

I. Problême Solide. 2. TROUVER une ligne dont le cabe foit au cụbe d'une ligne donnée CD, dans la raison donnée de m à n.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la don. née CD, a; & l'inconnue x, l'on aura par la condition du Problême x'. a' :: m. n, d'où l'on tire er qui est une équation du troisiême degré, qui ne pouvant être réduite à une équation du second; il suit que le Problême est Solide. En multipliant cette équation par x , l'on aura **

& faisant (no. 3.) ay = xx, qui est une équation à la Parabole, l'on a aayy =:t*; & mettant dans l'équation à construire pour ** sa valeur aayy, l'on

ma's aura aayy = ou yy= , qui est une autre équation à la Parabole. Et combinant ces deux équations à

.

max

n

max

n

la Parabole par addition ou soustraction, l'on aura yy —

— ay = xx, qui est une équation au cercle dont la construction jointe avec celle de l'équation à la Parabole ay=xx, résoudra le Problême.

Soit le point A l'origine des inconnues y qui va vers G, Fig. 102. & x qui lui est perpendiculaire. Et soit décrite ( Art. 10. no. 11). sur l'axe AG dont le sommet est A la Parabole AH, dont la parametre soit a=CD. Cette Parabole sera cellé dont l'équation est ay=xx.

. L'équation au cercle étant réduite donnera avec les réductions cette construction.

Ayant pris sur AG, AI={a=CD, on élevera au point I la ligne IK perpendiculaire à AG & égale à

& du centre K par A, l'on décrira un cercle qui coupera la parabole AH au point M, par où l'on mene ra la droite MP parallele à IK; je dis que MP exprimée par x, qui est l'inconnue de l'équation x'=mai que l'on vient de construire, est le côté du cube qu'il faloit

ma

20

trouver.

AYANT

DEMONSTRATION.

N. Ayant joint AK , & mené KOR parallele à AP qui rencontrera le cercle en R , &PM en o. L'on a par la proprieté du cercle KA', ou KR' — KO=OM', ce qui est en termes algebriques -- aa + -

-yy tay , qui devient ay - - уу

mmaa

4

4nn

max

mmad

aa = XX

4

n

mas

XX

Mais à cause de la Parabole l'on a (Art. 10.)

ay=xx; donc yy mettant donc dans l'équation précédente pour ay , sa valeur xx , & pour yy, la

Сc iij

ad

n

valeur l'on aura après les réductions ordinaires x'=
ma'
C. l. F. D.
Ε Χ Ε Μ Ρ Ι Ε

II.

Problême Solide.. FIG.103.8. DIVISER un arc de cercle BDFC en trois parties égales

BD , DF, FC.

Ayant supposé le Problême résolu ; puisque par l’Hypothese les arcs BD, DF, FC , sont égaux, les cordes BD, FD, FC seront aussi égales , & DF sera parallele à BC. Ayant mené les rayons AB, AD, AF, AC, & outre celá la ligne FI parallele à AD ; les triangles ADB, ADF, AFC seront égaux , semblables & isosceles, comme aussi les triangles BHD, CKF : car l'angle CFK (=KFD=AKH)=CKF. Par la même raison l'an

= gle BDH= l'angle BHD c'est pourquoi , puisque (Hyp: ) CF=DB; CK sera = BH. Mais les triangles

) ACF, CFK, FKI, sont aussi semblables & isosceles : car à cause des paralleles AD,1F, l'angle KIF (=BHD) =IKF=KFCEFCA.

En nommant présentement le rayon AC, a ; la donnée BC,6, & l'inconnue CF, ou CK,ou IH, ou HB, *; l'on aura AC (a)..CF (*)::CF (*).FK=-, & CF

)

CI = --;& partant CB=IB+CI= 2x + x

=

b; d'où l'on tire x} =3aax - aab, qui est une équation du croisième degré, & qui ne pouvant être réduite à une équation du second, fait connoître que le Problême est solide.

Pour le construire, soit premierement l'équation précédente multipliée par son inconnue x , & l'on aura x+= zaaxx-aabx ; & ayant fait

l'on aura aayy=**.

j

=

XX

XX

(*). FK (**) :: FK (**).KI=, donc ci=

.

3

104

Mercant donc dans l'équation du Problême, pour x4, &
pour xx, leurs valeurs

leurs valeurs aayy, & ay ; l'on aura après avoir
divisé par aa, yy=3ay — bx, qui est une autre équation
à la Parabole. Ét en combinant par addition ou soustra-
&tion, ces deux équations à la Parabole , l'on aura après
la réduction yy- 4ay=

xx-bx, qui est une équation au cercle, dont la construction jointe avec celle de l'équacion à la Parabole ay=xx, résoudra le Problême.

. Soit donc le point A l'origine des inconnues y qui va F1G.103. vers G , & x perpendiculaire à AG qui va vers B , & soit décrite ( Art. 10. no. 11.) sur l'axe AG, dont le sommet soit A, la parabole FAN dont le parametre soit a=(Fig. 103.) AC. Cette Paraboie sera celle dont l'équation est ay=xx.

L'équation au cercle étant réduite, donnera , avec les réductions, cette construction.

Soit prise AI =(Fig. 103.) 2 AC, & ayant élevé IK perpendiculaire à AG &=1b=BC, l'on dé. crira du centre K par A, un cercle AMNF qui coupera la Parabole aux points Ā, M, N, F, parmi lesquels il y en a trois M,N,& F dont on peut tirer des perpendicu- . laires MP, NL, FE sur l'axe AG de la Parabole, qui sont les trois racines de l'inconnue x de l'équation du Pro. blême, deux desquelles PM,& QN sont positives , & la troisième EF , negative, de sorte que PM sera la corde du tiers de l'arc BDFC qu'il faloit diviser ; & IN, la corde du tiers du reste du cercle BVC.

= 20 =

DEMONSTRATION. Par la proprieté de la parabole l'on a ( Art. 10.) ay=xx. Ayant joint KA, & mené le diametre ZKR F16.104. parallele à AG; l'on aura par la proprieté du cercle KA', ou KR- KT’=TN', ou KZ-KX=XM', ou en termes algebriques, 42a + 4bb — yy + 4ay 4aa ** + bx + bb, ou 4ayyy

yy = xx + bx ; & en remettant pour ay,

& pour yy leurs valeurs xx, & - prises

dans l'équation à la Parabole ay=xx, l'on aura, après
les réductions ,x=3aax ——

'
=

aab. C. l. F.D.
REMARQUE

I. 9. S'I \ y avoit un second terme dans l'équation que l'on

Ly vient de construire, il auroit falu avant toutes choses le faire évanouir ; & alors l'inconnue x, qui exprime la cor. de CF (Fig. 103.), ne se seroit plus trouvée dans l'équation à construire ; c'est pourquoi les perpendiculaires PM,QN, ne seroient égales aux cordes du tiers des arcs BFC, BVC, qu'après les avoir augmentées ou diminuées de la quantité connue de l'équation qui auroit fervi à faire évanouir le second terme, ce qui n'auroit apporté aucune difficulté.

REMARQUE I I. F16.104. 10. Les valeurs positives de x, PM & QN font ensemble

égales à la négative EF. Ce que je démontre en cette sorte. On les prolongera en sorte qu'elles rencontrent le cercle en L, S & H , & le diametre ZR en X, T &0. Ayant nommé le parametre AB de la Parabole AM, a; la corde AG , qui est l'axe de la même Parabole, b; IK, ou PX, ou E0,C; PM , *; ON,y; & FE, K; PL sera, 26 + 2; IS, 26+Y; & EH, 2-26. AP fera ( Art. 10.)

; AE, & partant PG, 6 i eG,

X X

yy

AQ,

ZZ

a