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On cire de la premiere équation ,

x + 20ac + aax ab

& substituant cette valeur de ab

و

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dans la seconde & troisième , l'on aura après les réduca
tions xy + 2aacy=yx+2aacx , & x'x + 2aacz = zx
zaacx; d'où l'on tire zaac =xyy + xxy,

& zaac = x2
xx;

donc yy + xy=-x, d'où l'on tire x=x-Y, donc x+y=. C. Q.F. D.

On démontreroit de même que, si le cercle coupoit la Parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'intersection d'un côté de l'axe seroient ensemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'intersečion de l'autre côté de l'axe. Soit qu'il en eût deux d'un côté, & deux de l'autre , ou trois d'un côté, & une de l'autre.

Ce seroit encore la même chose, si le cercle touchoir la Parabole d'un côté de l'axe , & la coupoit en deux points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'intersection infiniment

pro. ches. Ainsi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, seroit égal à la somme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'intersection qui seroient de I'autre côté de l'axe.

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a

Problême Solide.
11. Soit encore le Problême proposé dans la Se&ion pré.
cedente , Exemples, où l'on a trouvé ces deux équations

- 2 by —bb,&yy=ax +-xx.
Si l'on fait évanouir ý, l'on aura
A .** — 2aaxx + 4abbx + a*,
2bbxx

2aabb

XX = aa

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لا

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aura.

Si au lieu de faire évanouir y, l'on fait évanouir x, l'on B.y?+ 4by' + 6bbyy +46y+6=0.

-aayy laaby aabb d'où faisant évanouir le second terme , en faisant'y + 6 =, l'on aura 6.** — zaakk+ 2aabz-aabb=o.

Et comme cette équation est plus simple que l'équation , A, il vaut mieux s'en servir pour construire le Problême, que de l'équation A. Faisant donc D. au =

22, l'on aura aauu=2*, & mettant les valeurs de <& de z* dans l'équation C, l'on aura après avoir di

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visé par aa ,

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:au, ou

Fig, 101.

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.

E. ua 2 au +2b2.bb=0, qui est une équation à la
Parabole.

Si l'on ajoute le second membre de l'équation D au
premier de l'équation E ; & le premier au second, l'on
aura un—2au+32+264-bb=au,
- F. uu - jau +22+262-662

=o, qui est une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la construise avec l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues à qui va vers S, & z qui lui est perpendiculai. re , & va en haut, on retombera dans la construction de la Section précedente no. s.

DEMONSTRATION.
Par la constru&ion du Problêmes. (Se&. prec.) KL, ou
HP=x+a; & LM=y+b; & par cette construction
KL=u, & LM==y+b; mettant donc dans ces deux
equations D & F pour u,

sa valeur $ + a, & pour a la

ã valeur y +6, l'on aura ces deux équations.

G. aa+ ax=yy+ zby bb,&

H. xx=aa zby — bb, qui est la premiere équation de l'exemple 5,

Sect.

prec. & en ajoutant les deux équations G & H, le premier membre au premier , & le second au second, l'on aura , après les réductions,

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2

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K. xx+ ax=yy , qui est la seconde équation du même
Exemple. c. 6. F. D.

REMARQU E. 12.Par le moyen de cette construction , l'on ne déter- Fig. 100. mine que la grandeur du côté CB=PM , au lieu que

101. par la construction de la Se&ion précedente, l'on a aussi des germiné la grandeur de ce=AP, d'où l'on voit que

CE lorsque l'on construit un Problême solide par le moyen de son équation déterminée , il n'est pas entierement résolu. Il faut encore pour cela résoudre & construire un autre Problême simple ou Plan ; au lieu que lorsqu'on le confa truit

par le moyen de ses deux équations indéterminées, il est entierement résolu : car les valeurs des deux inconnues se trouvent toujours déterminées.

Ainsi pour achever de résoudre le Problême , en sup. posant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la construction précedente ; soit encore CE nommé x ; & BD, c; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a (CD). C(BD)::((BD), a DE, d'où l'on tire x= a, qui servira à déterminer la grandeur CE, & le Probleme fera entierement résolu.

REMARQUES GENERALES

Sur la construction des Problèmes Solides. 13.LEs constru&tions du deuxiême & cinquiême exem. ples de la Section precedente , comparées avec les conîtructions du second & du troisième de cette Section font voir qu'il est plus à propos de construire les Problê. mes solides avec deux équations indéterminées , qu'avec une équation déterminée, lorsqu'on le peut. Or on le peut toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rapporte au cercle , ou bien lorsque les deux lettres incon. nues ne se multiplient point dans les deux mêmes. équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

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On voit aussi qu'il n'est pas absolument necessaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Observation de l'article 4. On peut mê. me les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations : car on trouve souvent des équations plus simples en les plaçant d'une maniere , qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la Parabole pour la constru&ion des Problemes solides , cela n'empêche pas qu'on ne puisse les construire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troisième & du quatriême degré des équations à l'Ellipse , & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle , avec cette difference seule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes , & qu'on la peur tirer d'une équation du troisième.

Soit par exemple A.x=3aax -- aab, qui est l'équation de l'exemple 2.

En supposant B. ay=xx, & mettant en la place de xx sa valeur ay, l'on aura C. xy=zax-6, qui est une équa

= tion à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. Et multipliant l'équation par * , & mettant ensuite pour xx,

C x sa valeur ay dans le premier terme, l'on aura D. yy= 3xx bx , qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13. & mettant encore pour xx sa valeur dans l'équation Di il viendra E. yy=3ay –bx, qui est une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier , & le second au second, l'on aura yy=xx+ 2 ay bx, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le second membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au second , l'on aura yy + xx=4ay — bx , qui est une équation au cercle. Si on mulciplie l'équation B par un nombrę.quelconque entier ou rompu , ou par une fraction

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a

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litterale , comme , avant que de la combiner avec lé. quation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipse.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prises à volonté , & ensuite celles qui résultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une desquelles on pourra se servir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatriême degré qui n'a point de second terme, des équations aux Sections coniques , & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes : où l'on remarquera que si l'on ciroit deux équations au cercle d'une équation du troisiême ou du quatriême degré, le Probleme seroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du second degré.

16. On peut encore construire les Problêmes solides avec l'équation au cercle , & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Construction des Equations de Mr. de la Hire , dont on a suivi ici la Méthode. 17.

On multiplie les équations du troisiême degré par leur inconnue , pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement : car les Problêmes du troisième & du

quatriême degré sont de même nature ; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe passent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle est du troisième degré, & qu'elles n'y pafsent pas quand elle est du quatrième.

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.

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