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On tire de la premiere équation,

x3+2aac + aax

ab

& fubftituant cette valeur de ab

x

dans la feconde & troifiême, l'on aura après les réductions x'y+2aacy=y3x+2aacx, & x31⁄2 +2aacz = = Z23x d'où l'on tire zaac = xyy + xxy, & 2aac = xzZ**༢.; donc yy+xy=zz—xz, d'où l'on tire x—z—y; donc x+y=z, C. Q. F. D.

raacx,

On démontreroit de même que, fi le cercle coupoit la Parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'interfection d'un côté de l'axe feroient enfemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'intersection de l'autre côté de l'axe. Soit qu'il en eût deux d'un côté, & deux de l'autre, ou trois d'un côté, & une de l'autre.

Ce feroit encore la même chofe, fi le cercle touchoit la Parabole d'un côté de l'axe, & la coupoit en deux, points de l'autre côté : car le point touchant doit être regardé comme deux points d'interfection infiniment proches. Ainfi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, feroit égal à la fomme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'interfection qui feroient de l'autre côté de l'axe.

EXEMPLE III.

Problême Solide.

11. SOIT encore le Problême propofé dans la Section précedente, Exemples, où l'on a trouvé ces deux équations xx=aa-2 by bb, & yy= 2 by—bb, & yy=ax+xx.

Si l'on fait évanouiry, l'on aura

'A. x1

Laaxx + 4abbx+ a*,

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zaabb=0.

+64

Dd

qui n'a point de second terme.

FIG. 101.

Si au lieu de faire évanouiry, l'on fait évanouir x, l'on

aura.

B. y++4by3+6bbyy +4b3y+ba— 0.

—raayy — zaaby - aabb

d'où faifant évanouir le fecond terme, en faifant'y + b

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E. z*— 2aazz+zaabz — aabb

Et comme cette équation eft plus fimple que l'équation 'A, il vaut mieux s'en fervir pour conftruire le Problême, que de l'équation A. Faisant donc

D. au=zz, l'on aura aauu=2*, & mettant les valeurs de zz & de z* dans l'équation C, l'on aura après avoir divifé par aa,

นน

E. ua-zau+zbz—bb―o, qui eft une équation à la
Parabole.

Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation D aù premier de l'équation E ; & le premier au second, l'on aura un―iau+zz+2b2—bbau, ou

F.uu

~F. un zau+z2+2bz —bb=0, qui eft une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la construise avec l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues a qui va vers S, & qui lui eft perpendiculaire, & va en haut, on retombera dans la conftruction de la Section précedente no. 5.

༢.

DEMONSTRATION.

PAR la construction du Problême 5. ( Sect. prec.) KL, ou
HP=x+a; & LM =y+b; & par cette conftruction
KL=u, & LM-2y+b; mettant donc dans ces deux
équations D & F pour u, fa valeur +a, & pour
+a,& z fa
valeur y+b, l'on aura ces deux équations.

G. aa+ax=yy + 2by — bb, &

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· 2by — bb, qui eft la premiere équation

de l'exemple 5, Sect. prec.

& en ajoutant les deux équa

tions G & H, le premier membre au premier, & le fecond

au fecond, l'on aura, après les réductions,

K.xx+ax=yy, qui eft la feconde équation du même
Exemple. C. Q. F. D.

REMARQUE.

101.

12.PAR le moyen de cette conftruction, l'on ne déter- FIG. 100. mine que la grandeur du côté CBPM, au lieu que par la construction de la Section précedente, l'on a auffi déterminé la grandeur de CEAP, d'où l'on voit que lorfque l'on conftruit un Problême folide par le moyen de fon équation déterminée, il n'est pas entierement réfolu. Il faut encore pour cela réfoudre & conftruire un autre Problême fimple ou Plan; au lieu que lorfqu'on le conf truit par le moyen de fes deux équations indéterminées ; il eft entierement réfolu : car les valeurs des deux inconnues fe trouvent toujours déterminées.

Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fup. pofant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la construction précedente, foit encore CE nommé x; & BD, c; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x + a (CD). c (BD) :: c (BD). a DE, d'où l'on tire x= a, qui fervira à déterminer la grandeur CE, & le Problême fera entierement réfolu.

REMARQUES GENERALES

bb

a

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Sur la conftruction des Problèmes Solides. 13.LEs constructions du deuxiême & cinquiême exemples de la Section précedente, comparées avec les conItructions du fecond & du troifiême de cette Section font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Problêmes folides avec deux équations indéterminées, qu'avec une équation déterminée, lorfqu'on le peut. Or on le peut toujours lorsque l'une des équations indéterminées se rapporte au cercle, ou bien lorfque les deux lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trouvera toujours une équation au cercle, comme on a fait dans cet exemple.

On voit auffi qu'il n'est pas abfolument neceffaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même les placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations: car on trouve souvent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la Parabole pour la construction des Problêmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les construire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiême & du quatriême degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troifiême.

Soit par exemple A.x3—3àax—aab, qui est l'équation de l'exemple 2.

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ay

En fuppofant B. ay=xx, & mettant en la place de xx fa valeur ay, l'on aura C. xy=3ax-b, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses afymptotes. Et multipliant l'équation C par x, & mettant enfuite pour xx, fa valeur dans le premier terme, l'on aura D. yy= 3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes diametres, comme celle de l'Art. 14. no. 13. & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D ; il viendra E. yy=3ay—bx, qui eft une équation à la Parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le fecond au fecond, l'on aura yy=xx+2ay—bx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au fecond, l'on aura yy+xx 4ay—bx, qui est une équation au cercle. Si on multiplie l'équation B par un nombre quelconque entier ou rompu, où par une fraction

a

litterale, comme, avant que de la combiner avec réquation F, comme on vient de faire ; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prifes à volonté, & enfuite celles qui réfultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une defquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de fecond terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle : mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiême ou du triême degré, le Problême feroit Plan, & l'équation se pourroit réduire à une équation du fecond degré.

qua

16. On peut encore construire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Conftru&tion des Equations de Mr. de la Hire, dont on a suivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troifiême degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la Parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiême & du quatriême degré font de même nature; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troifiême degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du quatrième.

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