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équations, non feulement tous les points, mais tel point qu'on voudra, indépendamment des autres.

21. Les courbes méchaniques font celles dont les coordonnées font l'une ou l'autre, ou toutes deux des courbes non rectifiables, ou, dont l'une des coordonnées les rencontre en une infinité de points. Et comme dans l'équation qui exprime la nature d'une courbe, l'une des deux lettres inconnues doit avoir au moins autant de dimenfions, qu'il y a de points où la ligne exprimée par cette inconnue rencontre la courbe, il faudroit que dans les équations de ces courbes, au moins une des inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui eft impoffible.

AVERTISSEMENT.

22. Avant M' Defcartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui fe faifoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, &tout ce qui fe faifoit par d'autres courbes étoit reputé mechanique. Mais M Descartes, & après lui tous les nouveaux Geometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui fe fait par Le des courbes Geometriques. Et les mêmes Auteurs ne prennent pour méchanique, que ce qui fe fait par le moyen courbes méchaniques.

IV.

moyen

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OBSERVATIONS

Pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

V

des

Oici les Remarques ou Obfervations dont on a parlé dans le premier Article, no. 8. 1. Lorsqu'on veut réfoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées, qui ayent leur origine en un point fixe, & qui faffent toujours un angle conftant, c'est-àdire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues, croiffant ou diminuant, celle qui est nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainsi, lorsqu'on a nommé (art. 3. no. 9.) CP, x; & PM, y; l'on a eu égard à cette

FIG. 4. Obfervation. De même le demi cercle AMB étant donné, s'il étoit question de déterminer le point M sur sa circonference, ayant abaiffé la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferemment AP, ou CP, ou BP,x; car les points A, C, & B font fixes; & PM, y. Et fi le Problême est déterminé, on trouvera deux équations indéterminées; mais on n'en trouvera qu'une feule, s'il est indéterminé.

FIG. 3.

FIG. S.

2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la position foit telle qu'on vient de dire dans l'Observation précedente; on placera enfuite les autres, comme on voudra. Mais on peut prefque toujours fe difpenfer d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a befoin, ou par la proprieté du triangle rectangle, ou par celle des triangles femblables.

3. S'il y a un point donné B fur un des côtez AH d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition, fera donnée de grandeur & de pofition; comme auffi les intervalles AB, AC; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais fi le point B, eft cherché, les lignes AB, BC, AC feront indétermi nées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x & y: car elles ont les qualitez requises par la premiere Obfer

vation.

po.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB donnée de pofition & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de fition, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront auffi données de grandeur & de pofition. Mais fi le point D eft cherché, les lignes DC, AC, & CB feront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x; CD, y; & CB (ayant nommé AB, a) fera a- -x.

FIG. 6.7. 5. Un angle GAH, & un point B au-dedans de cet angle

angle (Fig. 6), ou au dehors (Fig. 7.) étant donnez de pofition; les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, ÂD, feront auffi données, & on les pourra nommera & b: mais fi le point B eft cherché, les paralleles AC, AD, seront inconnues, & on les pourra nommer x,

&y.

6. Ce feroit la même chofe, fi le point B étoit donné FIG. 8. ou cherché fur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez: mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou (fila courbe rencontroit encore CG prolongée en un point F (Fig. 8.) FC, & CB, x &y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plu- FIG. 8. fieurs points B fur un plan où il y a des lignes qui fervent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle les mêmes points fe doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de pofition en quelque point C, & nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet FIG. 9. angle, étant donnez de pofition fur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché F ou F fur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF feront inconnues, & pourront être nommées x, & y: mais les paralleles DB, DC, aux côtez AH, AG, où leurs égales AC, AB feront données, & pourront être nommées a, & b.

9. Si l'on eft obligé de tirer des lignes autrement que felon les regles contenues dans les Obfervations précedentes ; on les tirera de maniere qu'elles forment plutôt dans la figure, fur laquelle on opere, des triangles femblables, que des triangles rectangles: car les triangles femblables donnent des équations plus fimples que les triangles rectangles.

D

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles femblables, donne prefque toutes les équations dans lefquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la Geo

metrie.

11. Les hypothenufes des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainfi les deux côtez étant nommez x &y, l'hypothenufe fera √xx+yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer & à nommer des lignes qui femblent neceffaires à la refolution d'un Probleme, on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvu qu'elles ayent entr'elles le même raport. FIG. 3. Par exemple, en fuppofant que BC, & DE foient paralleles, il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, & CE foient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puifque AC. CE:: AB. BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve fouvent des équations plus fimples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divife par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe très-connu, & qui eft fouvent d'un grand fecours dans l'Application de l'Agebre à tous fes ufages. Le voici.

15. La moitié de la fomme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la fomme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference eft égale à la plus petite. Ainfi, nommant la fomme 2m, & la difference 2n; la plus grande fera m+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'eft pas neceffaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure fur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il foit neceffaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou inconnues : mais

on doit toujours fuivre les regles précedentes pour tirer les lignes neceffaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut fuivre les principes précedens.

AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans Application de l'Alge bre à la Geometrie: mais la premiere & la feptième font les plus confiderables de toutes; car en fuivant ce qui y eft preferit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutot par la feule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la pofition n'eft point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas conftruire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raifons que l'on a dites art. 3. n°. 173 on eft quelquefois oblige d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a à obferver, quand on les veut fuivre.

17. Quand en refolvant un Problême avec deux inconnues, fuivant la premiere Obfervation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême sera déterminé, & on le pourra construire avec ces deux équations, fi elles fe rapportent foutes deux à la ligne droite, ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle, car il n'y a point de lignes plus fimples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées fe rapporte au cercle, & que l'autre foit du fecond degré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues; & fi l'équation déterminée qui en réfulte, n'est point du premier, ou du second degré, on examinera fi elle ne peut point être divifée par quelque binome compofé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puiffance

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