Où l'on donne la Méthode de résoudre & de construire les Problémes indéterminez, dont les Equations excedent le second degré : ou ce qui est la méme chose, de decrire les courbes dont ces Equations expriment la nature ; & de résoudre & de construire les Problémes déterminez, dont les Equations excedent le quatriéme degré.

XXV.

MÉTHODE.

Na donné des régles dans la cinquiême, sixiême & septième Section pour décrire les courbes du premier genre d'une maniere plus simple que celles qu'on tireroit naturellement de leurs équations : mais on n'en peut pas donner pour décrire celles des genres plus composez. Il faudroit pour cela les avoir examinées les unes après les autres; ce qui iroit à l'infini: car chaque genre en contient un nombre d'autant plus grand qu'il est plus composé, & il y a une infinité de genres.

1. On dira seulement en general qu'après avoir trouvé une équation pour chaque Problême (en observant pour nommer les lignes inconnues ce qui est prescrit dans la premiere ou septiême Observation de l'Art. 4.)', qui exprime la nature de la Courbe qui doit servir à le réfoudre, qui en détermine le genre, & qui soit réduite à son expression la plus simple; il faut examiner par l'inspection des termes de l'équation, celle des deux inconnues dont on peut plus facilement trouver les valeurs en suivant les régles de la construction des équations déterminées, trouver par les mêmes régles les valeurs de cette inconnue, en assignant à l'autre inconnue une valeur déterminée, & arbitraire ; & l'on aura à chaque fois qu'on affignera à cette inconnue des valeurs arbitraires, autant de points de la courbe qu'on veut décrire que l'autre inconnue aura de valeurs réelles, positives, & négatives. De forte que si l'inconnue la moins élevée de l'équation, fi elles ne le font pas toutes deux également, a une ou deux dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section II, en assignant à l'autre inconnue des valeurs arbitraires, & la regardant ensuite comme déterminée. Si elle a trois ou quatre dimensions, on en trouvera les valeurs par les régles de la Section précedente ; & fi elle a un plus grand nombre de dimensions, on en trouvera les valeurs comme on expliquera dans la suite: mais comme l'on en pourra plus tirer l'équation au cercle, il ne sera point necessaire d'en faire évanouir le second terme, s'il s'y rencontre : où l'on remarquera qu'il faut réïtérer la construction autant de fois qu'on assignera des valeurs differentes à l'inconnue que l'on prend pour constante.

2. On peut aussi, après avoir trouvé une équation comme on vient de dire, abandonner la premiere & feptiême Observations de l'Art. 4, & nommer d'autres lignes par des lettres inconnues, & chercher par ce moyen d'autres équations, qui n'exprimeront pas effectivement la nature de la courbe qui doit résoudre le Problême, & qui n'en détermineront pas le genre: mais qui pourront fervir à décrire plus simplement la même courbe, soit par elles-mêmes, ou en faisant évanouir par leur moyen les inconnues de la premiere équation, afin de la rendre plus simple, & d'en tirer plus facilement la maniere de décrire la même courbe.

3. On peut encore tirer de l'équation qui exprime la nature de la courbe qui doit résoudre un Problême, des équations à quelqu'une des quatre courbes du premier genre, lorsqu'on y trouve l'expression de l'appliquée de quelqu'une des quatre mêmes courbes, en égalant cette expression à une troisiême lettre inconnue, ou à son quarré, & la construction de ces équations facilitera la description de la courbe qu'on veut décrire. Tout ceci se trouvera pratiqué dans les exemples qui suivent.

FIG. 105. 4.UN demi cercle AFB, dont le diametre eft AB, & le cen tre C, étant donné, ayant mené par un point quelconque P du diametre AB, la droite PK perpendiculaire à AB, qui rencontre la circonference AFB en K. Il faut trouver fur PK le point M. qui la divise en forte que AP. PM :: PB. PK. Et comme il y a une infinite de points comme M, il faut trouver la courbe fur laquelle ils se trouvent tous.

Ayant supposé le Problême résolu ; & nommé le diametre AB, a ; & les indéterminées AP, x; PM, y; PB sera, a - x ; & par la proprieté du cercle PK lera Vax-xx, & l'on aura par les qualitez du Problême,

AP(x). PM(y) :: PB (a – x). PK =

ay - xy

=

Vax - xx, & en quarrant chaque membre, multipliant ensuite par xx, & divisant par a - x; l'on aura x3 ayy - xyy, qui est une équation du troisième degré, qui montre que la courbe cherchée dont elle exprime la nature est du second genre. On tire de l'équation que

xVx

l'on vient de trouver, y=+ =, ouy=+

Va-x

en multipliant les deux termes de la fraction par vx, се qui ne change ni le degré de l'équation, ni le genre de la courbe, d'où l'on voit que la courbe passe des deux côtez de l'axe AB par les points M, , & m, & que la partie Am est égale & semblable à la partie AM, puisque

Pm=PM.

Si l'on fait x=0, =0, le point P tombera en A, les termes où x se rencontrent feront nuls, & l'on aura par consequenty=0, d'où l'on connoît que la courbe rencontre son axe au point A, puisque AP & PM s'y aneantissent, & qu'elle ne rencontre qu'en A la parallele à PK menée par A: car fi elle la rencontroit encore en quelqu'autre point, l'on trouveroit une valeur de y qui le détermine

roit.

Si l'on fait y=0, l'on aura aussi x=0, qui montre que la courbe ne rencontre son axe AB qu'au seul point A; & comme elle ne rencontre aussi la parallele à PK, menée par A qu'au seul point A ; il suit qu'elle est toute du côté de B par raport à cette parallele.

Puisque par l'Hypothese PB. PK :: AP. PM, il est clair que la courbe AM touche son axe au point A: car le point P étant infiniment proche de A, les points K & Men feront aussi infiniment proches; & parcequ'alors PB furpassera pour ainsi dire infiniment PK; AP furpassera aussi pour ainsi dire infiniment PM ; d'où il suit que la petite partie AM de la courbe sera pour ainsi dire dans la direction de son axe AB, qu'elle touche & coupe par conféquent au point A.

L'on voit encore par la même équation que x croissant, y croît aussi, même en deux manieres : car le numérateur xx du membre fractionnaire croissant, le dénominateur Vax - xx diminue.

a,

Si l'on augmente x jusqu'à ce qu'elle devienne = le point P tombera en B, & l'équation deviendra y =

raport donné, c'est-à-dire, infiniment grand; il suit que si l'on mene par B une ligne BH parallele à PM, cette parallele ne rencontrera la courbe qu'à une distance infinie, ou, ce qui est la même chose, qu'elle lui fera asymptote. L'on voit aussi qu'on ne peut pas augmenter x en forte qu'elle surpasse AB: car le dénominateur de la

Ee

fraction deviendroit une quantité imaginaire; & par consequent aussi les valeurs de y : ce qui fait voir que la courbe ne passe point au-delà BH menée par B parallele à PK. Il suit de tout ce qu'on vient de dire que la courbe est toute renfermée entre les deux paralleles à PM, menées par A & par B.

Puisque BH est asymptote à la courbe AM, il suit qu'elle coupe la circonference du cercle en quelque point F, qu'il est aisé de déterminer : car faisant PM=PK, ou y=ax-xx, & mettant cette valeur de y dans l'équa. tion précedente, elle deviendra ax xx = xx, d'où l'on tire x = a, qui fait voir que le point F divisera par le milieu le demi cercle AFB : ce que l'on peut aussi remarquer par l'Hypothese ; car le point P tombant en C, l'on aura AC. CM :: CB. CK ; & partant CM=CK = AC.

La qualité du Problême fournit une maniere assez simple pour décrire la courbe : mais il faut examiner fi l'on n'en peut pas tirer une plus simple de son équation , en cherchant les valeurs de y dans toutes

y

XX

Vax - xx

les positions du point P. On trouve que cette équation donne cette construction qui est presque la même que celle que fournit le Problême. Soit prise PM troisiême proportionnelle à PK & à AP, & le point M sera à la courbe cherchée.

DEMONSTRATION.

PAR la construction, & par la proprieté du cercle Vax - xx (PK).x x(AP)::x.y (PM), d'où l'on

Quoique ces constructions foient assez simples, il est neanmoins à propos de voir si l'on n'en peut pas trouver une encore plus simple. Soit pour ce sujet menée par les points A & M la droite AMG qui rencontre la