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circonference AKB en E, & l'afymptote AH en G, & ayant mené ED parallele à PK, & nommé DB, Z; AD ༢.; sera a—z, & les triangles semblables APM, ADE, donneront AP ( x ). PM ( y ) :: AD ( a −2). DE

ay-zy Mais par la proprieté du cercle DE=√ az —zz

x

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divifant chaque membre par a-z. L'on a auffi l'équa

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zx d'où l'on tire = x, ou AP➡DB; donc

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༢.=

AM=EG, qui donne cette construction qui est la plus fimple que l'on puiffe trouver.

Soit menée du point A une ligne droite quelconque AG qui rencontrera la circonférence du demi cercle en E; & ayant pris fur AG, AM— EG; le point M sera à la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

PUISQUE (Const. ) AP = DB, AP étant x ; DB fera auffi, x; AD, a — x ; & l'on aura, à caufe des triangles semblables APM, ADE, AP (x).PM(y)

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(par la prop. du cer

cle) Vax — xx, d'où l'on tire l'équation du Problême. C. Q. F. D.

Dioclés Inventeur de cette courbe l'a nommée Cyffoïde.

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FIG. 106. 5.UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de fes côtez, étant donnez de pofition fur un Plan, fi l'on mene du point fixe A une ligne quelconque AG, qui rencontre le côté BH en G, & qu'on prenne GM=GB, il faut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe fur laquelle fe trouve le point M, & tous ceux que l'on trouvera de la même

maniere.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera du point 'M fur AB le perpendiculaire MP; & ayant nommé la donnée AB, a, & les indéterminées AP,x; PM, y; PB fera,a-x; & AM, √xx+yy, & les triangles femblables APM, ABG donneront AP(x). PM (y) :: AB(a).BG=

ay

x

=(Hyp.)GM, & à caufe des paralleles PM, BG,

l'on aura x (AP). a— —x(PB):: √xx+yy (AM). ay

(GM, ou GB), d'où l'on tire y=+

ax

V zax

qui est une équation du troifiême degré : car on auroit pû la diviser par x avant que d'extraire la racine, & la courbe par conféquent est du second genre.

İl feroit inutile de chercher une conftruction plus fimple que celle qui eft renfermée dans l'énoncé du Problême: car il eft impoffible d'en trouver de plus fimples. Voici celle que l'équation donne,

=

Soit prolongée AB en D, en forte que BD AB, & décrit un demi cercle AKD fur le diametre AD, Ayant mené par un point quelconque P la droite PK parallele à BH, qui rencontrera le demi cercle en K, on prendra fur PK, PM quatriême proportionnelle à PK, AP,& PB, & le point M fera la courbe cherchée.

DE'MONSTRATION.

PAR la conftruction, & à cause du demi cercle, √zax—xx (PK). x (AP) :: a — x (PB). y (PM), d'où l'on tire

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V2ax-xx

C. Q. F. D.

On voit par cette équation que la courbe paffe des deux côtez de fon axe AB, & que les parties qui font de part & d'autre font égales & femblables.

est

pour

Si l'on fait x=o, l'on aura auffi yo, ce qui montre que la courbe paffe au point A, qui eft par confequent le fommet de fon axe ; & la conftruction précédente auffi bien que l'énoncé du Problême, font connoître qu'elle coupe au point A fon axe AB à angles droits : car fi l'on fuppofe le point P infiniment proche de A, les points K & M en feront auffi infiniment proches. Or puifque (conft.) PK. AP:: PB. PM, & que PM est ainfi dire nulle par raport à PB; AP fera par conféquent nulle par raport à PK; & partant le point M eft pour ainsi dire dans la perpendiculaire à AB menée par A. d'où il fuit que la Si l'on fait yo, l'on aura x=a; courbe rencontre encore fon axe au point B, puifque y y eft nulle. Mais outre cela, je dis qu'elle le coupe en faifant avec lui un angle de 45 degrez; car fi l'on fuppofe que le point P foit infiniment proche de B, le point K fera infiniment proche du point H milieu de la circonference du cercle AKD; c'est pourquoi PK sera égale à PA, & par confequent PB = PM à caufe de l'Analogie précédente PK. AP:: PB. PM. Ainfi le petit triangle KPB fera rectangle & ifofcele, & partant l'anglè PBM fera demi droit.

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fans que AP= =x peut devenir plus grande que AB=a, les valeurs de y deviennent imaginaires, ce qui fait voir. Ee iij

que la courbe paffe au-delà de BH par raport à A, de
forte que la partie MB fe continue vers 1, & l'autre vers E.
Mais parcequ'alors y devient negative de pofitive qu'elle

étoit, l'équation deviendra — y =±

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Viax -XX

ax

Vzax

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XX

> ou y

Ainfi pour décrire les parties de la
courbe qui font au-delà de BH par raport à A, ayant
mené par un point quelconque p, la droite pk parallele à
BH, l'on prendra pm quatriême proportionnelle à pk,
pA, & pB, & le point m fera à la courbe cherchée.
Si l'on augmente x ( AP) jusqu'à ce qu'elle devienne
= AD = 2a, l'équation deviendra y +244, qui fait
voir que DF menée par D parallele à BH, & prolongée de
part & d'autre à l'infini, ne rencontrera jamais la courbe,
& lui fera par conféquent afymptote.

pe

=

2aa

Si l'on veut déterminer le point E, où la courbe coula circonférence du demi cercle, il n'y a qu'à faire pm=pk, c'est-à-dire, y = √2ax— xx, & mettant cette valeur de y dans l'équation précedente, l'on en tirera x=a, c'est-à-dire que le point E eft vis-à-vis le milieu de BD; & que par confequent l'arc ED, eft de 60 degrez.

EXEMPLE III.

Problême Indéterminé.

FIG.107.6.UNE ligne droite GH indéterminée de part & d'autre, & un point Ď hors de cette ligne, étant donnez de pofition fur un Plan, fi l'on ajufte l'axe AE d'une courbe quelconque FAM fur la ligne GH, & qu'on applique au point fixe D une regle DMF, indéfinie de part & d'autre du point D, qui en tournant fasse mouvoir la courbe FAM en poussant de côté ou d'autre un point déterminé C de fon axe, le long de la

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ligne GH, les interfections F & M de la regle DMF, avec la courbe FAM, décriront par ce mouvement deux autres courbes, ou deux parties d'une courbe KF & IM. L'on propose de trouver des équations qui en expriment la nature.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, l'on menera du point D la ligne DE perpendiculaire à GH, ou à l'axe de la courbe FAM, & du point d'interfection M les lignes MP, MQ paralleles à DE & à AE: & ayant nommé les données DE, a; AC, b; & les indéterminées EP, ou QM, x; EQ, ou PM, y; AP, z; CP fera, z—b; DQ, a—y; & les triangles femblables DQM, MPC donneronta-y (DQ). x (QM) ::y (MP). z—b (PC), 'y d'où l'on tire cette équation.

A. xy=az―yz— ab+by, qui eft une équation generale pour la courbe IM, telle que puiffe être la cour

be FAM.

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Si l'on change les fignes des termes de l'équation A, où y fe rencontre, l'on aura- •xy = az+yz - ab by, ou

= z

B. xy——az—yz+ ab + by, qui eft une équation generale pour la courbe KF: car l'inconnue PM = y, de pofitive qu'elle étoit, devient negative FO, EP=x, devient EO, & AP devient AO. Ce qu'on peut aifément prouver en cherchant une équation dans cette fuppofition car CO étant à prefent, b 2; EC fera x+z―b; & les triangles femblables DEC, FOC don neront a (DE) . x + ¿— b ( EC) :: y (FO). bz (CO), d'où l'on tire xy=— az ―yz + ab + by, qui eft l'équa

tion B.

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༢.;

La nature de la courbe FAM étant donnée, l'on aura une équation qui exprimera la relation de fes coordonnées AP, ou AO (2) & PM ou AO (2) & PM, ou OF, (y), d'où l'on tirera une valeur de que l'on fubftituera dans l'équation A', ou B ; & l'équation qui en féfultera exprimera la nature de la courbe IM, ou KF, & en détermi nera le genre.

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