Soit par exemple la courbe FAM une Parabole du premier genre dont le parametre foit p, l'on aura (Art. 10.) px Д0, ou px AP FO', ou PM2, ce qui eft en termes algebriques pz=yy, d'où l'on tire z = », & mettant en la place de z dans les équations A & B sa va༢. leur, l'on aura après avoir divisé par y P P L'équation C donne cette conftruction. Soit menée par un point quelconque Q pris fur DE la droite QM parallele Ayant prolongé DE du côté de E vers S, & mené par un point quelconque R pris fur ES la droite RF parallele DR X CA à GH; l'équation D donnera RF = DR X OF OF P & le point F fera à la courbe KF. Tout ceci est évident par la feule inspection des équations C& D. ab Si l'on fait ya, l'équation C deviendra o, ce qui fait voir que la courbe IM paffe par le point D; & fi l'on fait y=o, l'équation C donnera x —— ab + 1/8 6, qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de G, est afymptote à la courbe IM, & s'en approche de plus en plus à l'infini, & l'équation D donne x= ab, qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de H, eft afymptote à la courbe KF. P L'on L'on a conftruit ces équations en regardant y comme donnée , parce que fi on l'avoit regardée comme incon- ! nue, & x comme donnée, la conftruction auroit été plus compofée, & auroit dépendu de la Geometrie folide car l'équation auroit été du troifiême degré. Mr Descartes a nommé dans cette fuppofition, les cour- * Geom. bes IM & KF paraboloides. 7. Si la courbe FAM devient un angle rectiligne dont le fommet foit en A, la raison de AP à·PM, ou de AO à OF sera conftante; qu'elle foit donc comme 6 à c ( fi b exprime AC, c exprimera la parallele à DE menée de Cjufqu'à une des droites AM, ou AF), & l'on aura z. y :: b. c ; d'où l'on tire by: & mettant cette valeur de ༢. dans les équations A & B, l'on aura les deux fui vantes, cxy=aby-byy == abcbcy, & Liv. 3. cxy= -aby — byy + abc +bey, qui font deux équations à l'Hyperbole que l'on conftruira par les régles de l'Ar- . ticle 21, ou 22. , 8. Mais en ce cas on peut avoir des équations bien plus fimples en fuivant les Observations de l'Art. 4. Soient menées du point fixe D les droites DE paralleles à AM,FIG. 108. qui rencontrera GH en E; DP parallèle à AF, qui rencontrera GH en O; & des points d'interfection M & F, les droites MQ & FP paralleles à GH, qui rencontreront DE & DP en Q & en P; & ayant nommé les données DE, a ; AC, b; DO ; c; & les inconnues AE Ou MQ, x; AM ou EQ,y; AO ou FP, z; AF, ou OP, u; CE fera, b+x; DQ, a—y; CO, z—b; DP, c+u; & les triangles femblables DEC, DQM & DOC, DPF donneront, a (DE). b + x (EC) :: a—y (DQ) x (QM), &c (DO). z—b (OC) : : c+u ( DP). z ( PF ), d'où l'on tire ces deux équations by + xy=ab, & zu bu=bc, qui font à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, que l'on conftruira par les régles de l'Article 22. & 9. Si la courbe FAM eft un cercle dont le centre foit FIG. 109. Ff C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nommées no. 6. 2bz —z=yy, d'où l'on tire zb√bb―yy; & mertant cette valeur de z dans les deux équations générales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera les deux qui fuivent. a―y X Vbb — yy ༢. E. x= F.x= =+ & & par conféquent les courbes IM, KF, dont elles expriment la nature, font du troifiême genre. Ces deux équations préfentent une conftruction assez fimple pour décrire par des points les deux courbes IM, : & KF mais les interfections M & F du cercle FAM avec la régle mobile DMF, en donnent une encore plus fimple: car ayant mené du point D une ligne quelconque DC, qui coupe GH en C, fi l'on fait CM & CF chacune égale à la donnée 6 ; les points M & F feront aux deux courbes IM & KF. DEMONSTRATION. AYANT mené des points M & F les droites MP, MQ, FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles femblables, MPC, DQM,& FOC, DRF donnent, y (MP).Vbbyy ( PC ) : : a—y ( DQ). × (QM), & v (FO). √bb — yy (OC): :a+y(DR).x(RF), d'où l'on tire les équations E & F. C. Q, F.D. Les deux équations E & F font voir que les courbes IM & KF paffent de l'autre côté de leur axe DE par raport à C, & que leurs parties qui font des deux côtez de DE, font égales & femblables. ab Si l'on fait y = o, l'on aura x = + b, d'où l'on voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, eft afymptote aux deux courbes IM & KF. |