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Soit par exemple la courbe FAM une Parabole du premier genre dont le parametre soit p, l'on aura ( Art. 10.) p* A0, ou p * AP=FO’, ou PM', ce qui est en termes algebriques pe=yy,

d'où l'on cire

༢ =

yy, & mettant en la place de z dans les équations A & B sa va. leur yy, l'on aura après avoir divisé par y

by - ab C. x

&

&

P

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ау — уу

2

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P

у

L'équation C donne certe construction. Soit menée par un point quelconque Q pris sur De la droite QM parallele à GH. Soit fait p. DQ :: LE.

DQX QE

; & QE. DO::

P
AC.
DQX AC

DOX QE

DQ X AC & ayant fait QM QE

QE le point M sera à la courbe cherchée IM.

Ayant prolongé DE du côté de E vers S, & mené par un point quelconque R pris sur ES la droite RF parallele

DR X CA DR X OF à GH; l’équation D donnera RF

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P

OF

P

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& le point F sera à la courbe KF. Tout ceci est évident par la seule inspection des équations C& D.

Si l'on fait y=a, l'équation C deviendra x=0,ce qui fait voir que la courbe IM passe par le point D; & si

fi l'on fait y=0, l'équation C donnera x =- aby to

qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de G, est asymptote à la courbe IM , & s'en approche de plus en plus à l'infini ; & l'équation D donne x==*, qui montre que HG prolongée à l'infini du côté de H, est asymptote à la courbe KF.

L'on

ab
O )

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Liv. 3.

L'on a construit ces équations en regardant y comme
donnée , parce que si on l'avoit regardée comme incon-

,
nue , & x comme donnée, la construction auroit été plus
composée , & auroit dépendu de la Geometrie solide : car
l'équation auroit été du troisième degré.

Mr Descartes a nommé* dans cette lupposition, les cour- * Geom. bes IM & KF paraboloïdes.

7. Si la courbe FAM devient un angle rectiligne dont
le sommer soit en A , la raison de APà•PM, ou de AO
à OF sera constante ; qu'elle soit donc comme bà c ( si
b.exprime AC,c exprimera la parallele à De menée de

C jusqu'à une des droites AM, ou AF), & l'on aura zi.
y ::bic ; d'où l'on tire <=b: & mettant cette valeur
de

༢ dans les équations A & B, l'on aura les deux sui

vantes

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cxy=aby byy abc + bcy, &
cxy=- aby byy+abc + bcy, qui sont deux équations

-
à l'Hyperbolé que l'on construira par les régles de l'Ar-.
ticle 21, ou 2 2.

8. Mais en ce cas on peut avoir des équations bien plus
simples en suivant les Observations de l'Art. 4. Soient me.
nées du point fixe D les droites DE paralleles à• AM ,F16.108.
qui rencontrera GH en E; DP parallele à AF, qui ren-
contrera GH en 0; & des points d'intersection M & F,
les droites MQ & FP paralleles à GH, qui rencontre-
ront DE & DP en l & en P; & ayant nommé les don-
nées DE, a ; AC,b; DO ;; & les inconnues AE, ou
MQ; *; AM ou El, y ; A0 ou FP , K; AF , ou OP,
u ; Ce sera , 6+ x; Deia-y; CO, 8-6;DP,-+u;
CE

; & les triangles semblables DÉC, DQM & DOC, DPF donneront, a (DE).6+ * (EC)::a- y(DQ)*(QM),

; & c (DO).226(OC)::c+u ( DP). 2 (PF), d'où l'on tire ces deux équations by + xy=ab, &zu- bu=bc, qui sont à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes , &

à que l'on construira par les régles de l’Article 22. 9. Si la courbe FAM est un cercle dont le centre soit F1G. 109.

FF

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;

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.

C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nom-
mées no. 6. 2b2-2=yy, d'où l'on tirez=6+V66-yy:
& mectant cette valeur de z dans les deux équations gé-
nérales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera les deux
qui suivent.

4-y X vbb - yy 1,8
E. x +

&

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F.x=+

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>

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4+3 X Ybb - yy

qui sont du quatrième degré; & par conséquent les courbes IM , KF, dont elles expriment la nature , sont du troisiême genre.

Ces deux équations présentent une construction assez simple pour décrire par des points les deux courbes IM, & KF:mais les intersections M & F du cercle FAM avec la régle mobile DMF, en donnent une encore plus sim. ple : car ayant mené du point D une ligne quelconque DC, qui coupe GH en C, si l'on fait CM & CF chacune égale à la donnée b; les points M & F seront aux deux courbes IM & KF.

;

D E'M ONS TRA I IO N.

em

Ant mené des points M & F les droites MP, MQ,
FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles sembla.
bles, MPC, DOM , & FOC, DRF donnent,
y (MP ).Vbb - yy ( PC ):: a--y(DQ).*(QM), &

y (FO).Vbb-yy (OC):: a+y(DR).x (RF), d'où
l'on tire les équations E & F. C. & F. D.

Les deux équations E & F font voir que les courbes
IM & KF passent de l'autre côté de leur axe DE par ra-
port à C, & que leurs parties qui sont des deux côtez de
DE , sont égales & semblables.
Si l'on fait y = 0, l'on aura x =+ab, d'où l'on
=

=
voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, est

& à
asymptote aux deux courbes IM & KF.

1

.

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