EXEMPLE VI. Problême Indéterminé. 12. DÉCRIRE la courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui est du sixième degré, & où les in connues x & y sont toutes deux élevées au-dessus du quatrième. ayx 6 x+ byyx2 + bcy'x + y'=0, En prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz = x2; donc azz = x, & substituant dans l'équation proposée en la place de x, & de x3 leurs valeurs azz, & aaz, I'on aura celle qui fuit, azz+azyx-aabzyy+bcy'x+y=0, qui est une équation où l'inconnuex, n'a qu'une dimension ; & que l'on construira par conféquent par les régles de la Section seconde, & les intersections avec la Parabole cubique, que l'on décrira aussi par les mêmes régles puisque l'inconnue z, n'a aussi qu'une dimension, donneront des valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura assignées à y. Il en est ainsi des autres équations plus composées. Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire, plus simple que celle qu'on tire de son équation, en suivant les régles prescrites no. 2. & 3. ou autre ment. COROLLAIRE. 13. IL eft clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus dù quatriême degré comme on vient de dire, en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation: car après les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation proposée n'excédera pas le second degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la Parabole Parabole cubique étant décrites, leurs interfections détermineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation proposée. Il est pourtant certain qu'un Problême de cette nature sera toujours construit plus élégamment, lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le construira avec les deux premieres équations dans lesquelles on sera tombé à la maniere de ceux de la Section neuviême, comme on va voir par l'exemple qui suit. EXEMPLE De la construction des Problèmes dont les équations déterminées excédent le quatrième degré. Problême. 14. UN angle droit ABH, & un point fixe A fur fes côtez, étant donnez ; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaisse sur AB la perpendiculaire MP, le rectangle ÁP × PM, foit égal à AB ; & qu'ayant mené du point A par le même point M la droite AMC qui rencontre BH en C, AM foit égale à BC. Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a ; & les inconnues AP, x ; PM,y; AM sera √xx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xy = aa, qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes. A cause des triangles semblables APM, ABC, l'on a, AP (x). PM (y) :: AB (a). BC====== (Hyp.) √xx+yy=AM, ou en quarrant les deux membres, & multipliant par xx, aayy = x + xxyy, qui est une équation à une courbe du troisiême genre, d'où faisant évanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy = aa, l'on aura a=x+a*xx, qui est une équation déterminée du sixiéme degré. Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée a=x'+a*xx, foit fait aaz=x', qui est une équation à la premiere Parabole cubique; & mettant dans l'é Gg G.III. quation a=x'+a+ xx, en la place de x' sa valeur aaz, elle deviendra aa =zz+xx, qui est une équation au cercle. FIG. 112. Soit présentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, z qui va vers G, & x qui lui est perpendiculaire, & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB=a, l'on décrit un cercle ; & fur la même FG pour axe, dont le fommet est F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N, & la perpendiculaire NQ sera la valeur positive de x, & KL fa valeur négative qui sera égale à la positive, de forte FIG. 111. qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des points 112. cherchez. DEMONSTRATION. PA R la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9. no. 18.) 3 contraire : car l'on tire de son équation x = Vaaz, qui = xx, Mais pour résoudre entierement le Problême, il faut encore déterminer la grandeur de PM = y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy=aa, qui est la plus simple des deux premieres qu'on a trouvées, aa l'on en tirera y = - qui est une équation déterminée 1 : fen met On pourra aussi construire cette équation a=x+a*xx par le moyen du cercle & de la Parabole ordinaire : car ayant fait af=xx, l'équation déterminée deviendra a =f'+aaf, en mettant pour xx sa valeur as, qui est une équation du troisiême degré, que l'on construira par les régles de la Section neuvième ; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de f, l'on aura celle de x = AP qui est une moyenne proportionnelle entre a & f: cela fait, il faudra encore déterminer la grandeur de PM = y comme on vient de faire. Pour construire présentement le Problême avec les deux premieres équations xy=aa, & aayy=x++ xxyy; l'origine des inconnues x & y, dans l'une & dans l'autre, étant au point A, x allant vers B, & y parallele à BH; FIG. III. ayant fait BH=AB=a,& mené AS parallele à BH, P'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM. L'énoncé du Problême donne une description trèsfimple de la courbe AM dont l'équation aayy = x2 + xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft claire, & l'on voit que cette construction résout pleinement, naturellement, & très-élegamment le Problême. On pourroit regarder ce Problême, comme un Problême solide, puisqu'on l'a construit avec le cercle, & la Parabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire fervir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les équations excédent le quatrième degré. Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'on en tirera une description affez fimple; & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH, &c. REMARQUES GENERALES Sur la construction des Problèmes déterminez & indéterminez. 1.5. LES Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solutions que les deux lignes, droi : tes ou courbes, qui servent à les réfoudre, ont de points communs ou d'interfections; & fi ces deux lignes ne se rencontrent point, le Problême sera impoffible. On pourroit auffi se servir de l'équation à l'Hyperbole xy =aa, au lieu de l'équation à la Parabole ay = xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées, du troisième & du quatrième degré, & de l'équation à l'Hyperbole cubique xxy = a', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x3, pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatriême degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, seront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être. 16. Pour décrire les courbes du premier genre, on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez, parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes, ou ce qui revient au même, de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples ; & par conséquent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitiême, en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue, & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir, ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue. On peut encore non-feulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitiême. |